Teaching objectives
When we only know a handful of values of a function — a table of measurements, a few points from an experiment — how do we estimate what happens between them, or near them? This is a classically dry topic when presented as pure formulas, so this lab builds it the other way round: first the visual intuition — guessing by eye, dragging points, watching curves move live — and only afterwards the symbolic machinery. Across 26 rooms full of sliders, drags and animations, it walks the full path from the tangent line to the cubic splines used by every design program. Aimed at University level (Calculus).
What you learn
The path goes from the simplest, most intuitive ideas to the tools actually used in practice.
- Start by guessing by eye the value of an unknown curve between three points, and reflect on why polynomials are so convenient for approximating functions (rooms 1 and 2).
- Use the tangent line to approximate nearby values, watch how its error grows as you move away, and estimate by hand without a calculator (rooms 3 and 4).
- Move on to linear interpolation with two known points, and compare it with the tangent (rooms 5 to 7).
- Build the Lagrange interpolating polynomial: its basis, its assembly, and why adding a new data point forces you to recompute it from scratch — ending in a free playground where the polynomial recomputes live as you drag any point (rooms 8 to 13).
- Discover Newton's divided differences, an equivalent but far more convenient way to update the polynomial as new data arrives (rooms 14 to 17).
- Understand interpolation error, watch the nodal polynomial grow outside the data range, and witness the famous Runge phenomenon — and how Chebyshev nodes avoid it (rooms 18 to 20).
- See the Taylor polynomial as the limiting case of Lagrange interpolation when all nodes collapse onto one point, and compare its reach with that of interpolation using spread-out nodes (rooms 21 to 23).
- Close with cubic splines: why splitting the curve into smooth pieces avoids the problems of a high-degree global polynomial, with the historical analogy of a draftsman's flexible ruler (rooms 24 to 26).
Key mathematical ideas
- The tangent line is the best linear approximation near a point; its error grows fast as you move away.
- Linear interpolation uses two real values instead of one, so it usually beats the tangent far from the reference point.
- The Lagrange polynomial is the unique polynomial of degree ≤ n−1 passing exactly through n given points; it is built as a sum of pieces Lᵢ(x) that equal 1 at their own node and 0 at the rest.
- Newton's divided differences compute the same polynomial in nested form, with the practical advantage that adding a node only requires one new row in the table.
- Interpolation error is proportional to the nodal polynomial ∏(x−xᵢ): small within the node range, large outside it.
- The Runge phenomenon shows that raising the degree with equally spaced nodes can worsen the approximation near the edges; Chebyshev nodes, denser near the boundaries, avoid it.
- The Taylor polynomial is the limiting case of interpolation when all nodes approach the same point: it approximates very well nearby, but guarantees nothing far away.
- Cubic splines interpolate with low-degree piecewise polynomials, joined with continuity up to the second derivative: they avoid the oscillations of a global polynomial and underlie almost all computer-aided curve design.
Room-by-room contents
Sala 1 · El puesto de helados
El laboratorio empieza con una tabla de ventas y una pregunta: ¿cuántos helados se venderán a una temperatura que no está en la tabla? Sin fórmula ninguna, el alumno se moja con un número y a partir de ahí se explica qué significa interpolar. No puntúa: es el gancho.
Student tasks
- Predecir un valor que no aparece en la tabla.
- Poner nombre a lo que se acaba de hacer.
Sala 2 · Dibújalo a ojo
Dados tres puntos, el alumno arrastra el valor que cree que toma la función en un punto intermedio. Se puntúa por cercanía, así que obliga a comprometerse con una estimación antes de tener herramientas para calcularla.
Student tasks
- Estimar a ojo el valor de la función entre dos datos conocidos.
Sala 3 · ¿Por qué polinomios?
Antes de construir nada, la pregunta de por qué se aproxima con polinomios y no con otra cosa. Entre seis afirmaciones hay que quedarse con las que de verdad son razones: son fáciles de evaluar, de derivar y de integrar, y con grado suficiente pasan por los puntos que se quiera.
Student tasks
- Separar las razones verdaderas de las que suenan bien pero son falsas.
Sala 4 · La tangente y su error
La primera aproximación de verdad: cerca de un punto, la recta tangente se parece mucho a la función. La sala va en tres etapas —la tangente y su reto, la tabla de valores comparados, y la gráfica del error— para ver que la aproximación es buenísima cerca y mala lejos.
Student tasks
- Calcular el valor aproximado que da la tangente en un punto cercano.
- Leer en la gráfica del error dónde deja de servir la aproximación.
Sala 5 · Estima sin calculadora
Aplicación directa: estimar un valor real usando solo la fórmula de la tangente, a mano. Es el momento en que la técnica deja de ser un dibujo y se convierte en algo útil.
Student tasks
- Estimar un valor concreto con la recta tangente, sin calculadora.
Sala 6 · Interpolación lineal
El alumno coloca él mismo dos puntos y aparece la recta que pasa por ambos, con un deslizador para recorrerla. Dos retos guiados fijan la diferencia con la tangente: aquí la recta pasa por los datos, no roza la curva en uno solo.
Student tasks
- Colocar dos puntos y leer valores intermedios sobre la recta.
- Calcular un valor interpolado entre dos datos.
Sala 7 · Tangente vs. interpolación lineal
Las dos rectas a la vez sobre la misma función exponencial. Se ve que una acierta en un punto y su entorno inmediato y la otra acierta en dos puntos y falla en medio: son aproximaciones distintas con virtudes distintas.
Student tasks
- Comparar el error de las dos rectas en varias zonas del intervalo.
Sala 8 · De 2 a 3 puntos
Con un punto más, la recta se convierte en parábola. Dos retos sobre lo que eso implica: qué grado tiene el polinomio que pasa por n puntos y qué dice el signo del coeficiente principal sobre la forma de la curva.
Student tasks
- Deducir el grado del polinomio que pasa por un número dado de puntos.
- Relacionar el signo del coeficiente principal con la forma de la curva.
Sala 9 · La base de Lagrange
El truco de Lagrange, construido paso a paso y con su contexto histórico: para cada nodo se fabrica un polinomio que vale 1 ahí y 0 en todos los demás. Cuatro retos van comprobando que se ha entendido esa propiedad, que es la que hace que todo lo demás funcione.
Student tasks
- Construir el polinomio base asociado a un nodo.
- Comprobar que vale 1 en su nodo y 0 en los otros.
Sala 10 · Ensamblar el polinomio
Con las piezas ya construidas, el polinomio interpolador es simplemente la suma de cada base multiplicada por su valor. El revelado va sumando término a término para que se vea cómo la curva se va ajustando a los datos.
Student tasks
- Ensamblar el polinomio a partir de las bases y los valores.
- Comprobar que pasa exactamente por todos los datos.
Sala 11 · Practica con 3 puntos
Práctica guiada: el alumno calcula cada pieza del polinomio de Lagrange con tres nodos, una por una y con la corrección al momento.
Student tasks
- Calcular cada polinomio base y montar el interpolador completo.
Sala 12 · Practica con 4 puntos
El mismo guion con un nodo más. El objetivo no es solo repetir: es que se note el trabajo que cuesta añadir un punto, cosa que el bloque de Newton aprovechará después.
Student tasks
- Repetir la construcción con cuatro nodos.
- Darse cuenta de cuánto crece el trabajo al añadir un punto.
Sala 13 · Tu propio interpolador
Parque de juegos: nodos libres que se arrastran con recálculo en vivo del polinomio. Sirve para descubrir por cuenta propia que acercar dos nodos dispara la curva, y que con muchos puntos el polinomio empieza a ondular.
Student tasks
- Colocar y arrastrar nodos observando cómo responde la curva.
- Provocar a propósito una curva que se comporte mal.
Sala 14 · Primera diferencia dividida
Empieza el método de Newton, que es el mismo polinomio construido de otra manera. Las diferencias divididas de primer orden se definen, se muestra una resuelta y el alumno completa el resto de una tabla de cinco puntos.
Student tasks
- Calcular las diferencias divididas de primer orden de una tabla.
Sala 15 · Segunda diferencia dividida
El segundo orden se construye a partir del primero. La gráfica que acompaña relaciona esas diferencias con la curvatura, así que la tabla deja de ser un procedimiento ciego.
Student tasks
- Completar la columna de segundas diferencias.
- Relacionar su signo con la curvatura de los datos.
Sala 16 · El polinomio de Newton
Con la tercera diferencia aparece la forma anidada, que es como se evalúa el polinomio de verdad —el esquema de Horner— y que se explica aquí. Se cierra comprobando que este polinomio y el de Lagrange son exactamente el mismo, escrito distinto.
Student tasks
- Escribir el polinomio en forma anidada.
- Comprobar que coincide con el de Lagrange.
Sala 17 · Construye tu tabla
Práctica por retos encadenados: cada uno recuerda la fórmula que toca y pide rellenar los números, hasta tener la tabla y el polinomio completos.
Student tasks
- Rellenar la tabla de diferencias divididas entera.
- Montar el polinomio a partir de la diagonal.
Sala 18 · La ventaja de Newton
El pago de todo el bloque: añadir un punto nuevo solo agrega una fila a la tabla, y todo lo calculado antes sigue sirviendo. El reto compara ese trabajo con el que costaría por Lagrange.
Student tasks
- Añadir un nodo y ver cuánto hay que recalcular.
- Comparar el coste con el del método de Lagrange.
Sala 19 · El problema de Lagrange
La cara contraria: en la forma de Lagrange, meter un nodo obliga a rehacer todas las bases desde el principio. Cierra el bloque dejando claro para qué sirve cada una de las dos formas.
Student tasks
- Comprobar qué hay que rehacer al añadir un nodo en Lagrange.
- Decidir qué forma conviene según el problema.
Sala 20 · El error de interpolación
Qué se paga por aproximar. La fórmula del error lleva dentro el polinomio nodal, el producto de las distancias a todos los nodos, y su gráfica explica por qué el error es pequeño entre los datos y crece deprisa fuera de ellos.
Student tasks
- Interpretar la gráfica del polinomio nodal.
- Decidir dónde será mayor el error a partir de la posición de los nodos.
Sala 21 · El fenómeno de Runge
La sorpresa del laboratorio, con su contexto histórico: añadir más nodos equiespaciados puede empeorar la aproximación en vez de mejorarla. La animación compara nodos equiespaciados contra nodos de Chebyshev y muestra el error global de ambos, con lo que la solución aparece sola.
Student tasks
- Aumentar el número de nodos equiespaciados y ver empeorar el resultado.
- Comparar con nodos de Chebyshev y explicar la diferencia.
Sala 22 · ¿Qué es un polinomio de Taylor?
Cambio de idea: en vez de pasar por varios puntos, ajustarse todo lo posible en uno solo, igualando la función y sus derivadas sucesivas. Se define, se muestra la fórmula y se resuelve un ejemplo antes de pedir un término más.
Student tasks
- Calcular un término del polinomio de Taylor de una función.
Sala 23 · Taylor como caso límite
La conexión entre los dos mundos: si los nodos de Lagrange se juntan hasta colapsar en uno solo, sus coeficientes se convierten en los de Taylor. Se ve en vivo, con los coeficientes cambiando mientras los nodos se acercan.
Student tasks
- Acercar los nodos y observar a qué tienden los coeficientes.
Sala 24 · Orden creciente
Al subir el grado, el polinomio de Taylor se pega más a la función cerca del punto, pero se despega antes lejos. Es la contrapartida de haber apostado todo a un solo punto.
Student tasks
- Subir el grado y medir la mejora cerca y el empeoramiento lejos.
Sala 25 · Taylor vs. Lagrange
Reto comparativo lejos del punto de desarrollo, que es donde las dos estrategias se separan claramente: una reparte el acierto entre varios puntos y la otra lo concentra en uno.
Student tasks
- Decidir cuál de las dos aproximaciones conviene según dónde se quiera evaluar.
Sala 26 · Por qué trocear la curva
Si un polinomio de grado alto se porta mal, la salida es no usar uno solo: trocear el intervalo y poner un polinomio pequeño en cada trozo. La analogía de la regla flexible que se sujeta por varios puntos explica la idea antes de cualquier fórmula.
Student tasks
- Explicar qué problema resuelve trocear la curva.
Sala 27 · Cómo se construye un spline
Los trozos no valen sueltos: en cada nudo tienen que coincidir el valor, la pendiente y la curvatura, y de ahí salen las ecuaciones que determinan el spline. La sala muestra qué se rompería si faltara cada una de esas condiciones.
Student tasks
- Identificar las condiciones que se imponen en cada nudo.
- Reconocer qué falla si se relaja alguna de ellas.
Sala 28 · Construye un spline cúbico
El alumno construye un spline con nudos que puede arrastrar, viendo cómo cada trozo se reajusta para seguir encajando con sus vecinos.
Student tasks
- Arrastrar los nudos y observar cómo se reajustan los trozos.
Sala 29 · Lagrange vs. spline
Cierre del laboratorio: sobre los mismos datos, el polinomio global de Lagrange y el spline cúbico, uno al lado del otro. Con pocos puntos se parecen; con muchos, uno ondula y el otro no.
Student tasks
- Comparar ambas curvas sobre los mismos datos.
- Elegir la más adecuada y justificar por qué.
Rooms to project
The most striking ones to show and discuss in class.