Teaching objectives
How do you get the most out of resources that will not stretch to everything? A workshop making tables and chairs with limited carpentry, upholstery and assembly hours runs through the whole lab: the same problem is solved three times — by drawing it, with the simplex method, and through its dual — and all three give the same number. Aimed at upper secondary.
What you learn
- Telling apart the roles each number plays in a word problem — variable, objective coefficient, unit consumption, capacity — and turning it into a model with an objective function and constraints (rooms 1-5).
- Drawing the half-plane satisfying an inequality, intersecting several of them, and recognising the feasible region; reading each resource's slack as the gap left at the top of its bar (rooms 6-10).
- Finding the optimum with level curves, understanding why it always lands on a vertex, and computing it by solving a 2×2 system once the numbers can no longer be read off the grid (rooms 11-14).
- Solving two complete problems end to end, one maximization and one minimization, following the step-by-step algorithm (rooms 14 and 17).
Key mathematical ideas
- A constraint splits the plane in two; the feasible region is the intersection of all the valid half-planes and is always convex.
- The slack of a resource is what is left over: zero means the constraint is active and the point rests on its line.
- Because the objective function is linear, its level curves are parallel straight lines. That is why the optimum is reached at a vertex, except when the level line is parallel to an edge, in which case the whole edge is optimal.
Room-by-room contents
Sala 1 · El taller de muebles
El gancho del laboratorio, sin una sola fórmula. Dos deslizadores eligen cuántas mesas y cuántas sillas se fabrican, y tres barras muestran en vivo el gasto de carpintería, tapizado y montaje: lo lleno es lo consumido y el hueco de arriba es lo que sobra. Si una barra desborda, se pone roja y el plan es imposible. El objetivo es llegar a 33 € de beneficio sin desbordar ninguna, y al conseguirlo se hace notar que alguna barra ha tenido que quedarse llena del todo.
Student tasks
- Mover los deslizadores buscando un plan posible que dé 33 € o más.
- Calcular cuántas sillas permite el montaje si ya se fabrican 4 mesas.
- Decidir qué recurso se agota antes si solo se fabrican sillas.
Sala 2 · Qué papel juega cada dato
Antes de escribir nada hay que saber qué es qué. El enunciado del taller se queda a la vista toda la sala y el alumno va clasificando las partes señaladas en cuatro papeles: variable de decisión, coeficiente del objetivo, consumo unitario y capacidad del recurso. Es la mitad del trabajo de modelizar, y la que suele darse por sabida.
Student tasks
- Clasificar tres fragmentos del enunciado según el papel que juegan.
- Distinguir un consumo por unidad de una capacidad total.
Sala 3 · De la frase a la inecuación
El paso algebraico: si cada mesa se lleva 3 horas, x mesas se llevan 3x. Con eso ya se puede escribir una restricción entera, y se explica por qué el signo es ≤ y no =. Una tabla de consumos editable permite cambiar los coeficientes y ver girar la recta correspondiente; al mover dos deslizadores aparece el nombre de lo que se está viendo —la región factible— y el plano se vuelve clicable para mirar planes concretos uno a uno.
Student tasks
- Escribir la expresión algebraica del gasto total de las mesas.
- Traducir dos enunciados distintos a su inecuación.
- Calcular las horas de montaje que consume un plan dado.
Sala 4 · El mapa del beneficio
Se olvidan por un momento las restricciones y se colorea el plano entero según el beneficio de cada punto. Como la función objetivo es lineal, el color sale en bandas rectas y paralelas: las curvas de nivel aparecen solas. Un deslizador no cambia el beneficio —que sale de x e y— sino que pregunta al dibujo dónde están los planes que dan exactamente ese beneficio, y la respuesta es siempre una recta. Otros dos deslizadores cambian lo que vale cada mueble y giran la familia entera.
Student tasks
- Calcular el beneficio de un plan concreto.
- Comparar tres planes y decidir cuál da más.
- Explicar por qué las líneas de igual beneficio son paralelas.
Sala 5 · Construye el modelo tú
Un enunciado nuevo —una pastelería— y el alumno lo modeliza de cero rellenando la tabla de consumos: lo que gasta una unidad de cada producto y el total disponible. Si algo no cuadra, a partir del segundo intento aparece una pista concreta por cada casilla equivocada. Al completarla, el modelo se escribe solo debajo. Cierra con un reto de marcar todas las condiciones que le faltan al modelo, donde se separa lo que decide el alumno de lo que es un dato del problema.
Student tasks
- Rellenar la tabla de consumos a partir del enunciado.
- Reconocer qué inecuación corresponde a cada recurso.
- Marcar todas las condiciones que faltan, y distinguirlas de las que no son decisiones.
Sala 6 · Una recta parte el plano
Una sola restricción divide el plano en dos: un lado vale y el otro no, y se decide probando un punto, normalmente el origen. El punto se arrastra mientras la barra del recurso se llena y desborda al cruzar la recta. Después el alumno construye una restricción nueva a partir de una frase —por cada mesa, al menos dos sillas— y, al acertarla, se dibuja su recta y se le pide tocar un punto que la cumpla; solo entonces se colorea la región entera.
Student tasks
- Decidir qué lado de la recta cumple la restricción.
- Calcular el consumo de un plan que se pasa del límite.
- Traducir «al menos 2 sillas por mesa» a una inecuación y señalar un punto que la cumpla.
Sala 7 · Cumplir dos cosas a la vez
Con dos restricciones, lo válido es la intersección de los dos semiplanos. Tres botones permiten ver cada una por separado y las dos a la vez, con un punto arrastrable que marca en verde o rojo si cumple cada una. Al calcular dónde se cortan las dos rectas se ilumina ese punto y se dice para qué sirve: uno de los vértices es siempre la respuesta del problema.
Student tasks
- Elegir, entre cuatro planes, el único que cumple las dos restricciones.
- Resolver el corte de las dos rectas.
Sala 8 · La región factible
Todas las restricciones a la vez, incluidas las de no negatividad, recortan un polígono: dentro está todo lo que se puede fabricar. El punto arrastrable va acoplado a las tres barras y a un cartel que dice si el plan es posible, además del beneficio que da.
Student tasks
- Decidir si un plan concreto es factible y justificar por qué no lo es.
- Calcular la holgura de dos recursos distintos en un mismo punto.
Sala 9 · Restricciones al límite
Una restricción está activa cuando su barra se llena del todo, es decir cuando el punto se apoya justo en su recta. El punto se ajusta a coordenadas enteras —sin eso es casi imposible acertar el borde a mano— y hay botones que saltan a cada uno de los cinco vértices. Lo que se descubre es que las esquinas son exactamente los sitios donde se llenan dos barras a la vez.
Student tasks
- Identificar qué restricciones están activas en un vértice dado.
- Contar cuántas restricciones se cumplen con igualdad en cualquier esquina.
Sala 10 · Las esquinas de la región
Cada vértice es la solución de un sistema 2×2 formado por las dos rectas que se cruzan ahí. Se muestra un ejemplo resuelto entero y después el alumno elige dos rectas y el widget resuelve el sistema paso a paso, marcando el punto en el dibujo.
Student tasks
- Resolver dos sistemas 2×2 para hallar las coordenadas de sendos vértices.
- Calcular el beneficio en el vértice hallado.
- Contar los vértices de la región.
Sala 11 · El barrido del beneficio
Empujando la recta de nivel hacia beneficios mayores, el óptimo es el último sitio donde todavía toca la región. Un botón anima el barrido y lo frena solo en ese contacto, resaltando el vértice ganador; hay botón de volver a verlo. El segundo reto pide la pendiente de la recta de nivel, y los errores típicos tienen respuesta propia: quien cambia el signo y quien despeja la variable equivocada reciben mensajes distintos.
Student tasks
- Decidir en qué dirección hay que empujar la recta de nivel.
- Calcular la pendiente de la recta de nivel del beneficio.
Sala 12 · Cuando no basta con mirar
Los mismos pasos, pero con números grandes: aquí el vértice bueno no se lee en la cuadrícula y hay que resolver el sistema de las dos rectas que se cruzan en él. Es la sala que cierra el método gráfico, dejando claro que el dibujo sirve para decidir qué esquina mirar, no para leer la respuesta.
Student tasks
- Resolver el sistema 5x + 4y = 120 con 3x + 8y = 156.
- Calcular el beneficio en ese vértice.
- Explicar por qué el dibujo solo no basta.
Sala 13 · ¿Por qué siempre una esquina?
Un deslizador gira la dirección del beneficio y se ve al vértice ganador saltar de una esquina a otra. En el ángulo crítico —cuando la recta de nivel queda paralela a un lado— se ilumina la arista entera: hay infinitas soluciones igual de buenas. Es la justificación visual del teorema que sostiene todo el método.
Student tasks
- Encontrar el ángulo en el que dos vértices empatan.
- Decir qué ocurre cuando la recta de nivel es paralela a un lado de la región.
Sala 14 · Resuélvelo tú entero
Primera práctica completa, de un problema nuevo de maximizar y con el enunciado siempre a la vista. Siete pasos, uno cada vez: decidir qué datos son las variables, escribir la función objetivo, escribir las tres inecuaciones, dar dos puntos de cada recta —se valida que los cumplan, así que cada alumno elige los que le convengan— y, con las rectas ya dibujadas, cazar los vértices tocando el plano y resolviendo el sistema de cada cruce. Uno de esos cruces es real pero cae fuera de la región: se explica por qué se descarta y se tacha de la lista.
Student tasks
- Modelizar el problema entero desde el enunciado.
- Trazar las tres rectas dando dos puntos de cada una.
- Localizar los vértices, resolverlos y descartar el cruce que no es factible.
- Evaluar el objetivo en las esquinas y escribir la solución.
Sala 15 · Cuando algo va mal
Tres problemas que no se portan bien, en tres pestañas: uno cuya región no tiene techo y por tanto no tiene máximo, uno con restricciones contradictorias cuya región es vacía, y uno donde la recta de nivel queda paralela a un lado y hay infinitas soluciones óptimas. Los tres se pueden tocar y traen sus barras y el valor del objetivo, para comprobar en cada caso qué falla.
Student tasks
- Diagnosticar un problema cuya región se extiende sin límite.
- Diagnosticar un problema con restricciones incompatibles.
- Encontrar en el caso no acotado un valor del objetivo mayor que un umbral dado.
Sala 16 · Minimizar, y con «al menos»
Una dieta barata cambia dos cosas a la vez: ahora se minimiza, y las restricciones son mínimos en lugar de máximos, así que la región se abre hacia arriba en vez de quedar encerrada. El enunciado y el sistema se quedan a la vista junto a la gráfica, y el barrido de nivel va en sentido contrario. Se razona por qué aquí existe mínimo pero no máximo.
Student tasks
- Calcular el coste de la dieta en el vértice óptimo.
- Explicar por qué hay mínimo pero no máximo.
Sala 17 · Resuelve un problema de minimización
Segunda práctica completa, esta vez de coste mínimo y con restricciones de los dos tipos. Se recorre el mismo algoritmo de la sala 14 —variables, objetivo, inecuaciones, rectas, vértices, evaluación y respuesta—, con los retos numerados de principio a fin y la gráfica apareciendo solo cuando toca trazar las rectas. La tabla de valores se conserva hasta el final, que es de donde se lee la respuesta.
Student tasks
- Modelizar de cero un problema de minimizar.
- Trazar las rectas y localizar los vértices resolviendo sus sistemas.
- Evaluar el coste en cada esquina y escribir la solución final.
Rooms to project
The most striking ones to show and discuss in class.