Objetivos didácticos
Zorros, conejos y ecuaciones que laten. ¿Por qué oscilan las poblaciones depredador-presa en vez de estabilizarse? ¿Y por qué reducir la pesca durante la Primera Guerra Mundial hizo que hubiera más tiburones? Este lab de bachillerato construye el modelo de Lotka-Volterra de abajo arriba: desde agentes individuales que se mueven y se reproducen en una pradera, pasando por ecuaciones diferenciales, hasta el caos determinista en sistemas de tres especies. En 17 salas repartidas en cuatro bloques, el alumno pasa de observar una simulación a diseñar y perturbar su propio sistema dinámico.
Qué se aprende
- Se observa la emergencia: un modelo basado en agentes (conejos que se mueven, se aparean y tienen crías; zorros que cazan y pasan hambre) produce oscilaciones poblacionales sin que nadie programe un ciclo explícito.
- Se conoce la paradoja de Volterra: el descubrimiento histórico de que, entre 1915 y 1920, con menos pesca en el Adriático hubo más tiburones — el punto de partida real que motivó el modelo matemático.
- Se contrastan modelos de tasa fija frente a tasa proporcional ajustados a datos reales (conteos de enero y abril) y se decide cuál se ajusta mejor a la simulación.
- Se revisa la predicción de Malthus (1798) frente al modelo logístico, que sí incorpora recursos limitados.
- Se ve cómo las reglas discretas convergen a ecuaciones diferenciales cuando el paso de tiempo Δt tiende a cero: tasa constante → recta, tasa proporcional → exponencial.
- Se presentan las ecuaciones de Lotka-Volterra (dx/dt = αx − βxy, dy/dt = −γy + δxy) con un integrador de Euler, incluyendo el problema de la inestabilidad numérica con Δt grande.
- Se aíslan los cuatro parámetros (α, β, γ, δ) uno a uno, manipulando sliders para entender el papel de cada uno antes de combinarlos en el modelo completo.
- Se explora el espacio fásico (x, y) y se distinguen los tipos de trayectorias: centro, foco estable, foco inestable.
- Se introduce el ruido estocástico y se observa cómo desestabiliza órbitas que en el modelo determinista serían perfectamente cíclicas.
- Se extiende a tres especies (Hastings-Powell) para mostrar caos determinista: condiciones iniciales casi idénticas que divergen por completo.
- Se visualiza el problema de los tres cuerpos como un primo gravitatorio del mismo fenómeno: sensibilidad extrema a condiciones iniciales sin azar alguno.
- Se cierra con halcones y palomas, un juego evolutivo que muestra cómo emerge una proporción estable de estrategias agresivas y pacíficas en una población.
Ideas matemáticas clave
- La emergencia: comportamiento poblacional a gran escala (oscilaciones) surgiendo de reglas simples a nivel de agente individual, sin diseño explícito del patrón.
- El paso del modelo discreto al continuo: cuando Δt → 0, una regla de actualización iterativa se convierte en una ecuación diferencial dc/dt.
- Las ecuaciones de Lotka-Volterra como sistema no lineal acoplado de dos ecuaciones diferenciales de primer orden, con un punto de equilibrio en (γ/δ, α/β).
- La integración numérica (método de Euler) y su inestabilidad cuando el paso de tiempo es demasiado grande frente a la escala temporal del sistema.
- El espacio fásico como herramienta para clasificar el comportamiento cualitativo de un sistema dinámico (centro, foco estable/inestable) sin resolver la ecuación explícitamente.
- La sensibilidad a condiciones iniciales (caos determinista): en sistemas de tres o más variables acopladas no lineales, trayectorias que parten casi del mismo punto pueden divergir exponencialmente.
- La dinámica de replicadores en teoría de juegos evolutiva: la proporción de una estrategia en la población cambia según su éxito relativo (payoff) frente a las demás.
Contenidos por salas
Sala 1 · Conejos y zorros
Una pradera llena de vida simulada con agentes individuales: los conejos se mueven, se aparean y tienen crías (la coneja preñada se marca en rosa); los zorros cazan y se reproducen cuando están bien alimentados, y se vuelven grises cuando pasan hambre. No hay gráfica todavía — solo observación libre de la escena para intuir la relación entre ambas especies.
Tareas para el alumno
- Observar la simulación durante un rato sin intervenir.
- Anotar qué relación se aprecia entre el número de conejos y el de zorros.
Sala 2 · La gráfica de las poblaciones
La misma simulación de agentes, ahora con una gráfica en vivo debajo: azul para conejos, naranja para zorros. El desfase entre los picos de ambas curvas hace visible, por primera vez de forma cuantitativa, el ciclo depredador-presa que ya se intuía en la sala 1.
Tareas para el alumno
- Observar los picos de las dos curvas.
- Determinar cuál de las dos poblaciones alcanza su máximo antes.
Sala 3 · La paradoja de Volterra
Contexto histórico: durante la Primera Guerra Mundial (1915-1920) la pesca en el Adriático se redujo drásticamente, y sin embargo la proporción de tiburones y rayas capturados aumentó. D'Ancona le pidió a Volterra un modelo matemático que explicara por qué menos pesca beneficia al depredador — el origen real de las ecuaciones que se construirán en las próximas salas.
Tareas para el alumno
- Leer el contexto histórico de la paradoja de Volterra.
- Formular una hipótesis de por qué reducir la pesca beneficia al depredador.
Sala 4 · De la observación al modelo
Se cuentan conejos en enero y en abril dentro de la simulación de agentes. A partir de esos dos únicos datos se construyen dos modelos posibles: uno de tasa fija (crecimiento lineal) y otro de tasa proporcional (crecimiento exponencial). El alumno compara ambas predicciones contra la evolución real de la simulación.
Tareas para el alumno
- Calcular las dos predicciones (tasa fija y tasa proporcional) a partir de los datos de enero y abril.
- Determinar cuál de los dos modelos se ajusta mejor a la simulación real.
Sala 5 · Malthus y su predicción
En 1798 Thomas Malthus predijo que la población crecería geométricamente mientras los alimentos solo lo harían aritméticamente, anticipando una catástrofe. La gráfica compara esa predicción exponencial con un modelo logístico que sí incorpora un límite de recursos, mostrando por qué la realidad se parece más a la segunda curva.
Tareas para el alumno
- Comparar visualmente la curva exponencial de Malthus con la curva logística.
- Explicar qué variable le faltaba al modelo de Malthus.
Sala 6 · Del discreto al continuo
Se muestra cómo, al hacer el paso de tiempo Δt cada vez más pequeño, las reglas de actualización discretas de las salas anteriores convergen a ecuaciones diferenciales: una tasa constante produce en el límite dc/dt = r (una recta), mientras que una tasa proporcional produce dc/dt = αc (una exponencial). Este es el puente conceptual hacia el cálculo continuo del bloque C.
Tareas para el alumno
- Observar cómo cambia la curva discreta al reducir Δt.
- Relacionar el caso de tasa constante con una recta y el de tasa proporcional con una exponencial.
Sala 7 · Las ecuaciones de Lotka-Volterra
Se presentan las dos ecuaciones diferenciales acopladas: dx/dt = αx − βxy para los conejos, dy/dt = −γy + δxy para los zorros. Un integrador de Euler con Δt ajustable mediante botones permite observar el comportamiento del sistema — y también su inestabilidad numérica cuando el paso de tiempo es demasiado grande.
Tareas para el alumno
- Probar distintos valores de Δt y observar cuándo la simulación se vuelve inestable.
- Identificar el valor de Δt más pequeño que sigue produciendo un ciclo estable.
Sala 8 · α: natalidad de los conejos
Sin zorros en escena, solo los conejos crecen según su propia tasa de natalidad α. El alumno mueve un slider de α y observa en la gráfica cómo un valor positivo produce crecimiento, uno negativo produce decrecimiento y α = 0 mantiene la población constante.
Tareas para el alumno
- Mover el slider de α y observar el efecto sobre la población de conejos.
- Identificar qué signo de α corresponde a crecimiento, decrecimiento y equilibrio.
Sala 9 · β: el efecto de los zorros
Ahora se añaden zorros en número fijo, y el alumno ajusta β, el parámetro que mide cuánto reduce cada zorro el crecimiento de los conejos. La gráfica muestra cómo, a mayor β, más rápido se frena o incluso revierte el crecimiento de la población de conejos.
Tareas para el alumno
- Mover el slider de β y observar el efecto sobre el crecimiento de los conejos.
- Explicar qué representa β en términos de la interacción depredador-presa.
Sala 10 · γ y δ: supervivencia de los zorros
Con el número de conejos fijo, el alumno explora γ (la mortalidad natural de los zorros) y δ (la energía que cada zorro obtiene al cazar un conejo). La gráfica revela un umbral: por debajo de cierta cantidad de conejos, los zorros no obtienen suficiente energía para compensar su mortalidad y se extinguen.
Tareas para el alumno
- Ajustar γ y δ y observar el efecto sobre la población de zorros.
- Determinar cuántos conejos hacen falta como mínimo para que los zorros sobrevivan.
Sala 11 · El modelo completo: conejos y zorros
Los cuatro parámetros trabajan juntos por primera vez: ambas especies se afectan mutuamente y el sistema completo de Lotka-Volterra produce las oscilaciones cíclicas que se observaron en la simulación de agentes de la sala 1, pero ahora gobernadas por ecuaciones explícitas y ajustables.
Tareas para el alumno
- Mover los cuatro sliders (α, β, γ, δ) y observar las oscilaciones resultantes.
- Intentar mantener vivas a ambas especies durante 120 semanas seguidas.
Sala 12 · El espacio fásico
En vez de representar x(t) e y(t) por separado, se dibuja cada instante como un punto (x, y): la trayectoria traza una órbita cerrada alrededor del punto de equilibrio (γ/δ, α/β). Cambiar las condiciones iniciales x₀, y₀ genera órbitas distintas pero siempre cerradas alrededor del mismo centro.
Tareas para el alumno
- Cambiar las condiciones iniciales x₀ e y₀ y observar la nueva órbita.
- Localizar el punto de equilibrio (γ/δ, α/β) en el espacio fásico.
Sala 13 · Tipos de trayectorias
El mismo sistema, con pequeñas variaciones en su formulación, puede producir tres comportamientos cualitativamente distintos en el espacio fásico: un centro (órbitas cerradas, como en Lotka-Volterra puro), un foco estable (la órbita colapsa hacia el equilibrio) o un foco inestable (la órbita se aleja en espiral). El alumno cambia de modo y compara las tres formas.
Tareas para el alumno
- Seleccionar cada uno de los tres modos (centro, foco estable, foco inestable).
- Describir la diferencia visual entre las tres trayectorias en el espacio fásico.
Sala 14 · Ruido y desestabilización
El ecosistema real nunca es perfectamente determinista: se añade ruido aleatorio multiplicativo a las ecuaciones y se observa el retrato fásico en tiempo real, con un rastro que se desvanece y un contador de extinciones. Un slider de intensidad de ruido σ permite ver cómo, a mayor ruido, más probable es que una de las dos especies se extinga pese a que el modelo puro sería perfectamente cíclico.
Tareas para el alumno
- Aumentar progresivamente σ y observar el efecto sobre la órbita.
- Explicar por qué el ruido puede llevar a una especie a la extinción aunque el modelo determinista no lo prediga.
Sala 15 · Tres especies: el caos
Se extiende el modelo a una cadena trófica de tres eslabones (modelo de Hastings-Powell). Sin ningún elemento aleatorio, dos simulaciones que parten de condiciones iniciales casi idénticas (diferencia de solo 0,001 en una especie) acaban divergiendo por completo — la firma del caos determinista.
Tareas para el alumno
- Observar la serie temporal de las tres especies.
- Comparar las dos trayectorias con condiciones iniciales casi iguales y describir cómo divergen con el tiempo.
Sala 16 · El problema de los tres cuerpos
Un primo gravitatorio del caos de la sala anterior: dos estrellas y un planeta bajo pura gravedad newtoniana, sin ningún azar. Dos planetas que parten de posiciones casi idénticas (diferencia de 0,05) terminan en órbitas completamente distintas, mostrando que la sensibilidad a condiciones iniciales no es exclusiva de la ecología.
Tareas para el alumno
- Observar cómo divergen las órbitas de los dos planetas.
- Relacionar este comportamiento con el caos observado en la sala 15.
Sala 17 · Halcones y palomas
Cierre del lab con teoría de juegos evolutiva: una arena de agentes que juegan el rol de "halcones" (agresivos) o "palomas" (pacíficos), gobernada por una ecuación replicadora en tiempo real. El alumno ajusta los sliders de recompensa V y coste C y observa cómo la proporción de halcones converge a un valor de equilibrio estable p* = V/C.
Tareas para el alumno
- Mover los sliders V y C y observar cómo cambia la proporción de equilibrio.
- Comprobar que la proporción final converge a p* = V/C.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.