Презентации для урока
Для показа на уроке и работы в группах. Скачиваются в формате PowerPoint (.pptx).
Задачи с часами · Часть 1
Презентация для показа (39 слайдов): узнавать и рисовать углы стрелками, пять задач с минутами, бой часов, циферблат на три части и часы без цифр. После каждой задачи — слайд с решением, ответ — в заметках.
Задачи с часами · Часть 2
Презентация с трудными задачами (17 слайдов): когда стрелки встречаются, когда повторяется тот же угол, стрелки на одной прямой, 44 прямых угла в сутки, 84° между 7 и 8, спешащие часы и секундная стрелка.
Дидактические цели
Лаборатория для 6-7 классов (1-2 курс ESO). Часы со стрелками — транспортир, который каждый носит в голове: полный оборот, пол-оборота и четверть оборота видны по минутной стрелке, а целые часы дают углы, кратные 30°. Вся лаборатория построена вокруг больших часов, которыми можно управлять: стрелки перетаскиваются (сцепленные, как в настоящих часах, или по отдельности, как в игрушечных), угол между ними закрашен янтарным цветом, а ускоренная анимация показывает, как движется часовая стрелка.
Залы 1-14 — для всех учеников; залы 15-19 — олимпиадные задачи (AMC, AHSME, Льюис Кэрролл).
Чему учимся
- Полный оборот (360°), пол-оборота (180°) и четверть оборота (90°) как повороты минутной стрелки; прямой и развёрнутый угол.
- Между стрелками два угла, в сумме 360°; «угол между стрелками» — меньший из них.
- Между двумя числами циферблата 30°, между двумя делениями — 6°. Переход от 24-часового времени к 12-часовому.
- Главная идея: часовая стрелка тоже движется, на 0,5° в минуту. Поэтому в 15:30 угол равен 75°, а не 90°.
- Угол в любое время: положение минутной стрелки (6° в минуту) минус положение часовой (30° в час и 0,5° в минуту), и 360° минус разность, если она больше 180°.
- Отложить угол стрелками: с закреплённой часовой стрелкой (игрушечные часы) и с закреплённой минутной (настоящие часы, где часовая стрелка может стоять только в определённых положениях).
- Как угол меняется со временем: минутная стрелка обгоняет часовую на 5,5° в минуту.
- Олимпиадные задачи: по одному углу время не узнать; когда угол повторяется (720/11 минуты между совпадениями); сколько раз в сутки стрелки совпадают (22) или образуют прямой угол (44); от угла ко времени через уравнение; часы в зеркале (всегда возможное время), повёрнутые часы (никогда) и часы без цифр; одинаковые стрелки (132 неоднозначных момента за 12 часов).
Ключевые математические идеи по блокам
A · Для всех (залы 1-14). Измерение углов как доли оборота; пропорциональность поворотов (30° в час, 6° в минуту, 0,5° в минуту); угол между лучами как модуль разности, приведённый к [0°, 180°]; относительная скорость.
B · Олимпиадные задачи (залы 15-19). Линейные уравнения с модулем (|210 − 5,5·m| = 84); относительное движение и число обгонов; симметрия (зеркало показывает 12:00 − t) и поворот (который нарушает отношение 12 : 1 между стрелками); сравнения по модулю 360° (143·H ≡ 0).
Материалы и источники
AMC 8 2003, задача 20 (4:20 → 10°), AHSME 1954, задача 50 (84° между 7 и 8 часами), задача Льюиса Кэрролла и Дьюдени о
переставленных стрелках. Числа проверены скриптом scripts/verify_angulos_reloj.mjs.
Содержание по залам
Зал 1 · Прямой, развёрнутый и полный оборот
УЗНАВАТЬ углы, кратные 90°, между двумя стрелками. В книге анимация: короткая стрелка стоит на 12, минутная проходит 90°, 180°, 270° и 360°, отмечая 3, 6, 9 и 12.
Задания для ученика
- Галерея из 8 часов со стрелками в любом положении: выбрать прямые углы (4).
- Галерея: выбрать развёрнутые (3).
- Чему равен закрашенный угол от 12 до 9? (270°).
- Сколько прямых углов в обороте? (4).
Зал 2 · Со сломанной часовой стрелкой
СОЗДАВАТЬ углы, кратные 90°: часовая стрелка сломана и не двигается; перетаскивается минутная.
Задания для ученика
- Часовая на 12, развёрнутый (6).
- Часовая на 3, прямой: оба положения (12 и 6).
- Часовая на 8, развёрнутый (2).
- Часовая на 1, прямой: оба положения (4 и 10).
Зал 3 · 30° между двумя числами
Углы, кратные 30°, но не 90°. В книге анимация подписывает у каждого числа его градусы (30°, 60°…; кратные 90° серым) и меньший угол между стрелками.
Задания для ученика
- Целые часы с углом 60° (2 и 10), 150° (5 и 7) и 120°.
- Большой угол в 10:00 (300°).
Зал 4 · Ровно в час
От 24-часового времени к 12-часовому; 30° на промежуток; большой угол — ловушка.
Задания для ученика
- 16:00 (120°), 20:00 (120°), 23:00 (30°), 19:00 (150°).
Зал 5 · Отложите угол: игрушечные часы
Стрелки по отдельности: часы как транспортир; положений обычно два.
Задания для ученика
- Часовая на 12, 90° (15 или 45 мин); на 6, 120°; на 9, 150°; на 12, 42° (7 или 53 мин). В каждом случае оба положения.
Зал 6 · Отложите угол: настоящие часы
Минутная стрелка закреплена: часовая может стоять только в определённых положениях (h:30 или h:20).
Задания для ученика
- Половина: 75° (3:30 и 8:30), 45°, 15° (5:30 и 6:30).
- 20 минут: 50° (2:20) и 40° (5:20).
Зал 7 · Часы в зеркале
В зеркале настоящее и отражённое время в сумме дают 12:00; отражение — всегда возможное время, и угол не меняется. Видны только 12 и 6; подсказка (💡) показывает остальные числа.
Задания для ученика
- Настоящее время трёх отражённых часов (9:20, 7:10, 12:55), с кнопкой «Без зеркала».
- Время, которое выглядит так же (12:00 или 6:00).
- Меняется ли угол? (нет).
Зал 8 · Одинаковые стрелки
С одинаковыми стрелками время неоднозначно, если при их перестановке получается другое возможное время: 143·H кратно 360°.
Задания для ученика
- Можно ли узнать время в 6:00? (да: 12:30 невозможно).
- 1:00 и 25 с (нельзя: подходит и 12:05).
Зал 9 · Часовая стрелка тоже движется
Главная идея: часовая стрелка проходит 30° в час, 0,5° в минуту. Анимация с 15:00 до 15:30 со следом часовой стрелки.
Задания для ученика
- Ставка: 90° ли в 15:30? (меньше).
- На сколько сдвигается часовая стрелка за 30, 20, 12 и 1 минуту (15°, 10°, 6°, 0,5°).
Зал 10 · Неумелый часовщик
Невозможное время: часовая стрелка должна соответствовать минутной. Сначала узнаём, потом исправляем.
Задания для ученика
- Галерея с «ровно», «половиной», «четвертью» и «без четверти»: выбрать невозможные (3).
- Галерея с 10, 20, 40 и 50 минутами: выбрать невозможные (4).
- Исправить часовую стрелку при закреплённой минутной: 3:30, 7:15, 10:20 и 4:45.
Зал 11 · Повёрнутые часы
Поворот добавляет одно и то же к обеим стрелкам и нарушает отношение 12 : 1: повёрнутые часы никогда не показывают возможное время. Часы поворачивают кнопками по 30°.
Задания для ученика
- Перевёрнутые часы (невозможное время; это не 8:10).
- Выпрямить их кнопками, пока они не покажут возможное время (2:40).
- 12:00, упавшие на бок (тоже невозможно).
- Переживёт ли какое-нибудь время пол-оборота? (нет).
- Часы без цифр висят криво: который час? (4:00; не 8:20: часовая стрелка ровно на метке, значит, время целое).
Зал 12 · Половина
Метод: положение минутной стрелки минус положение часовой (пример в книге: 15:30 → 75°). Только «половины», они дают целые градусы.
Задания для ученика
- 21:30 (105°), 12:30 (165°), 22:30 (135°), 18:30 (15°).
Зал 13 · Угол в любое время
Отработка метода с произвольными минутами.
Задания для ученика
- 14:20 (50°), 18:50 (95°), 19:12 (144°) и 16:20 (10°, AMC 8 2003).
Зал 14 · Чуть позже
Минутная стрелка обгоняет часовую на 5,5° в минуту: на 165° каждые полчаса.
Задания для ученика
- Сколько градусов выигрывает за 10 мин (55).
- С 15:00 (90°) до 15:30 (75°) и до 15:20 (20°); с 16:00 до 16:10 (65°) и 16:30 (45°).
Зал 15 · Известен только угол
По одному углу нельзя сказать, каким он будет через полчаса.
Задания для ученика
- Сейчас 90°, а через полчаса? (зависит от времени).
- Целый час с 90° и 105° через полчаса (9:00); с 75° (3:00).
- Без часов: ровный час и прямой угол, какой угол через 20 минут? Два ответа: 20° (3:00) и 160° (9:00).
Зал 16 · Угол не изменился
Угол повторяется, когда минутная стрелка выигрывает оборот или удвоенный угол; совпадения каждые 720/11 мин.
Задания для ученика
- С 15:00 до снова 90° (360/11 ≈ 32,7 мин).
- Первое совпадение после 12:00 (720/11 ≈ 65,5 мин).
- Совпадение между 2 и 3 часами (2:11).
Зал 17 · Сколько раз в сутки?
За 12 ч минутная стрелка обгоняет часовую 11 раз; ускоренная анимация 12 часов со счётчиком.
Задания для ученика
- Ставка: совпадений в сутки (22).
- Прямых углов в сутки (44) и прямых линий (22).
Зал 18 · От угла ко времени
Уравнение |210 − 5,5·m| = угол (пример в книге: 90° между 4 и 5 часами).
Задания для ученика
- 84° между 7 и 8: 22,9 и 53,45 мин (7:23 и 7:53; AHSME 1954).
- Прямая линия между 2 и 3 часами (43 7/11 мин).
Зал 19 · Одинаковые стрелки: сколько?
Сколько моментов нельзя прочитать при одинаковых стрелках, по шагам: минутная = 12 · часовая; для обмена 144 · H = H; 143 положения; минус 11 совпадений.
Задания для ученика
- Часовая в 5° → минутная в 60°.
- Часовая в 20° → минутная в 240°.
- Поменять стрелки 12:10 (время невозможно).
- 12 · (12 · H) = 144 · H.
- Положений в обороте: 143.
- Неоднозначных моментов за 12 ч: 132 (Льюис Кэрролл и Дьюдени).
Залы для показа
Самые наглядные для показа и обсуждения в классе.