Objetivos didácticos
Un suelo de tablas con rayas paralelas a la misma distancia d y una aguja que cae girando, rebota un poco y se queda donde cae; los cortes se encienden en rojo. El alumno deja caer agujas (y después piezas torcidas y un aro) y cuenta cuántas rayas cortan; al final, una hormiga hace lo mismo en una habitación a oscuras. En cada sala apuesta antes de cada experimento y comprueba después si acertó. Cada alumno empieza con 10 Ᵽ; una apuesta ganada suma 5 Ᵽ y una perdida resta 3 Ᵽ. En las seis salas la apuesta se resuelve con una serie larga (de 100 a 3000 repeticiones) que se juega sola, así que decidir bien compensa.
Casi no hay pantallas de explicación: la teoría se presenta como retos, con un recuadro breve de teoría en las salas que introducen una idea nueva (probabilidad geométrica, esperanza aditiva, el aro, frecuencia relativa, estimar por proporciones). Cada sala sigue el mismo guion: apuesta, unas caídas a mano en el suelo de parqué, una serie en la que la media se asienta sobre una línea, y retos de comprensión (elegir entre opciones, completar una fracción, escribir un número) que llevan del experimento a la fórmula. Todo se hace sin integrales. Las salas están ordenadas para que π no aparezca hasta que está justificada: las tres primeras trabajan con el 0,637 de la primera sala y es el aro, en la cuarta, el que explica de dónde sale.
Qué se aprende
El lab lleva al alumno desde «¿cuántas agujas cortan una raya?» hasta ver por qué sale π y por qué los cortes medios solo dependen de la longitud.
- Ver que la probabilidad de cortar depende del giro de la aguja, usar la probabilidad geométrica (medida favorable entre medida total) y quedarse con la pregunta de dónde sale el 63,7 % (sala 1).
- Pasar de «¿corta o no?» a contar cuántos cortes hay, y ver que la media de una suma es la suma de las medias, aunque las piezas vayan unidas; por eso una aguja entera da lo mismo que dos mitades y una de 2d da el doble, con más de 1 corte de media (sala 2).
- Comprobar que una aguja doblada en V o un alambre de cualquier forma da los mismos cortes medios que una recta de la misma longitud (sala 3).
- Demostrar la fórmula con un aro, sin integrales, como hizo Barbier: ahí sale π por primera vez, y se aplica a una aguja recta (el 2/π de la sala 1) y a un marco cuadrado (sala 4).
- Usar la frecuencia de cortes para estimar π, saber leer la estimación y desconfiar de los resultados «demasiado buenos» (sala 5).
- Usar la misma fórmula al revés para medir un área contando cruces, como las hormigas exploradoras que eligen nido, y reconocer la estimación por proporciones (lentejas, peces marcados) (sala 6).
Ideas matemáticas clave
- El giro importa: una aguja atravesada a las rayas ocupa d en vertical y corta siempre; una paralela no ocupa nada y casi nunca corta. A 30° ocupa d/2 en vertical: corta con probabilidad (d/2)/d = 1/2. Es probabilidad geométrica: «al azar» quiere decir uniforme y la probabilidad es medida favorable entre medida total (como esperar menos de 5 minutos a un autobús que pasa cada 20: 5/20 = 1/4). Con muchas agujas el porcentaje que cortan se asienta en un 63,7 %, y de dónde sale se ve en la sala 4.
- La esperanza es aditiva: una pieza puede cortar 0, 1, 2… rayas, y los cortes medios se suman. Un dado da 3,5 de media; dos dados, 3,5 + 3,5 = 7; y en un mismo dado la cara de arriba y la de abajo, 3,5 + 3,5 = 7 aunque estén unidas (las caras opuestas suman siempre 7). Una media aguja (d/2) da la mitad que una entera; dos medias, lo mismo que una entera, y pegadas en V siguen dando lo mismo: la media de una suma es la suma de las medias, vayan las piezas sueltas o unidas. Es la linealidad de la esperanza. Una aguja de 2d da el doble, 4/π ≈ 1,27: pasa de 1, así que ya no es una probabilidad.
- Solo importa la longitud: para cualquier forma de longitud ℓ, los cortes medios son 2ℓ/(πd) (la «aguja de fideo» de Buffon, demostrada por Barbier en 1860). La V se queda sin cortar ninguna raya más a menudo que la recta (≈ 52 % frente a ≈ 36 %) y a veces corta dos (≈ 16 %), y ambos efectos se compensan. Un alambre de longitud 3d, tenga la forma que tenga, da el triple que una aguja de d; un marco cuadrado de lado d, 4 · 2/π = 8/π ≈ 2,55.
- El aro lo demuestra: un aro de radio d mide 2d de alto y las rayas están cada d, así que siempre hay dos rayas dentro de esa altura y cada una lo corta dos veces: siempre 4 cortes, incluso si es tangente a una raya (2 + 1 + 1). Es una aguja torcida de longitud 2πd. Si los cortes medios son proporcionales a la longitud, cada unidad de longitud da 4/(2πd) = 2/(πd) cortes. Una aguja recta de longitud d da entonces d · 2/(πd) = 2/π ≈ 0,637, el resultado de Buffon (1777) sin integrales, y como corta como mucho una raya, es su probabilidad de cortar. Un aro de radio d/2 corta siempre 2. Aquí aparece π por primera vez, y viene de la longitud de la circunferencia.
- π como frecuencia: si C de N agujas cortan, C/N ≈ 2/π, luego π ≈ 2 · N/C. La frecuencia relativa se acerca a la probabilidad pero no la iguala, y por eso la estimación de π baila: con 3000 agujas, en las centésimas. El método es de Montecarlo: el azar sirve para calcular un número, pero despacio, porque el error baja como 1/√N; por cada decimal más hacen falta unas cien veces más agujas (cientos de miles para acertar 3,14).
- Lazzarini (1901) dijo haber lanzado 3408 agujas de longitud 5/6 de d y obtenido 355/113 = 3,1415929, con seis decimales bien. Con esa aguja, π ≈ (5/3) · N/C, y N = 3408 = 213 · 16, C = 1808 = 113 · 16 da exactamente 355/113: bastaba con ir anotando y parar en el momento justo.
- Hormigas que miden su casa (Mallon y Franks, 2000): una exploradora de Leptothorax albipennis pasea a oscuras por una habitación candidata, sin rumbo, dos veces; en la primera deja un rastro de olor de longitud L₁ y en la segunda, de longitud L₂, cuenta las veces n que lo cruza. En el parqué hay 1/d de raya por unidad de área y una aguja de longitud ℓ corta de media (2/π) · ℓ · (1/d); en la habitación la «raya» es el rastro, con L₁/A por unidad de área, así que los cruces medios son 2L₁L₂/(πA). Mide el área, no el ancho: con el doble de área cruza la mitad de veces (en el lab, unos 12,8 cruces por visita en 60 × 40 mm y 6,4 en 80 × 60 mm, con 22 cm por visita). Es una estimación por proporciones, como las lentejas de un saco o los peces de un lago (se marcan 50, se pescan 40 y 8 llevan marca: unos 250 peces). Si entre visitas se cambia la mitad del suelo por suelo limpio, la hormiga cruza la mitad de veces y cree que la habitación es el doble de grande: con esa trampa, las colonias eligieron 8 de 20 veces una habitación de la mitad de tamaño que sin ella casi nunca elegían (1 de 16).
Nivel: 4º de ESO y bachillerato. Es un lab corto de la serie de probabilidad, junto a «Probabilidad», «Esperanza» y «Monty Hall»; la sala 2 reaprovecha la idea de que la esperanza se suma. En clase funciona bien proyectar la sala 1 pidiendo que la clase apueste antes de ver caer ninguna aguja y que se quede con la pregunta de qué es ese 63,7 %; la sala 4, con su aro que corta siempre 4 veces, es la que más sorprende y la que contesta; la sala 5 sirve para comparar las estimaciones de π de distintos grupos y comentar el caso de Lazzarini, y la sala 6 muestra la fórmula fuera de las matemáticas.
Contenidos por salas
Sala 1 · La aguja
El conde de Buffon propuso este juego en 1777: un suelo de tablas con rayas paralelas a distancia d y una aguja de longitud d que cae girando sobre él. Apuesta: ¿qué fracción de las agujas cortará una raya (menos de la mitad, entre la mitad y tres cuartos, o más de tres cuartos)? Se dejan caer 8 agujas a mano, con un marcador «Cortan: c de n», y la apuesta se resuelve con una serie de 300 agujas. Después, un recuadro de teoría sobre la probabilidad geométrica: cuando los resultados no se pueden listar, «al azar» significa uniforme y la probabilidad es medida favorable entre medida total (ejemplo del autobús que pasa cada 20 minutos: esperar menos de 5 es 5/20 = 1/4). Una aguja atravesada a las rayas ocupa d en vertical y corta siempre; una paralela no ocupa nada y casi nunca corta; a 30° ocupa d/2 en vertical y corta con probabilidad 1/2. Aquí no aparece π: la sala termina con la serie asentada en casi dos de cada tres agujas (un 63,7 % si fueran muchísimas) y la pregunta de qué porcentaje es ese y de dónde sale, que contestan las salas siguientes.
Tareas para el alumno
- Apostar qué fracción de las agujas corta una raya.
- Elegir qué agujas cortan más a menudo (las que caen atravesadas a las rayas).
- Escribir la probabilidad de que corte una aguja a 30° (1/2).
Sala 2 · Dos medias agujas
Ahora no se pregunta si la aguja corta, sino cuántos cortes hay en total: una pieza puede cortar 0, 1, 2 rayas o más. Se compara una aguja de longitud d con dos medias agujas de longitud d/2 que caen cada una por su lado. Apuesta: ¿qué da más cortes de media, la entera, las dos mitades o los mismos? Se juegan 4 rondas a mano (en cada una cae la entera y después las dos medias, sobre el mismo suelo), con un marcador de los cortes de cada una; la apuesta se resuelve con una serie de 3000 caídas de cada una, y si las medias difieren en menos de 0,05 cuentan como iguales. Después, un recuadro de teoría: la esperanza es lo que sale de media en muchas repeticiones (un dado da 3,5) y es aditiva, la esperanza de una suma es la suma de las esperanzas (dos dados, 3,5 + 3,5 = 7), aunque las cosas vayan unidas (en un mismo dado, la cara de arriba y la de abajo dan 3,5 + 3,5 = 7 de media, y en efecto las caras opuestas suman siempre 7). Una aguja entera son dos mitades pegadas, así que da lo mismo que dos medias sueltas. Todavía no sale π: se usa el 0,637 de la primera sala. La sala cierra con que los cortes medios son proporcionales a la longitud.
Tareas para el alumno
- Apostar si dan más cortes de media la entera, las dos mitades o los mismos.
- Elegir por qué una aguja entera da de media los mismos cortes que dos medias sueltas (son dos mitades pegadas y cada una corta de media lo mismo pegada que suelta).
- Elegir cuántos cortes da de media una aguja de longitud 2d (unos 1,27: el doble; pasa de 1, así que ya no es una probabilidad).
Sala 3 · La aguja torcida
Una aguja recta de longitud d frente a otra de la misma longitud doblada en V, con dos tramos de d/2. La recta corta como mucho una raya; la V puede cortar dos. Apuesta: ¿cuál da más cortes de media, la recta, la V o las dos lo mismo? Se juegan 4 rondas a mano, con un marcador de los cortes de cada una y de las veces que la V corta dos rayas, y la apuesta se resuelve con una serie de 3000 caídas de cada una (si las medias difieren en menos de 0,05 cuentan como iguales). Esta sala no lleva recuadro de teoría, porque es la misma idea que la anterior. Después, una tabla con el reparto de caídas con 0, 1 o 2 cortes: la V se queda sin cortar nada más a menudo (≈ 52 % frente a ≈ 36 %) y a veces corta dos (≈ 16 %), y los dos efectos se compensan. La V son dos medias agujas pegadas y cada una corta de media lo mismo que suelta. Un alambre de longitud 3d, retorcido de cualquier forma, da el triple que una aguja recta de d; es la «aguja de fideo» de Buffon: los cortes medios solo dependen de la longitud.
Tareas para el alumno
- Apostar si da más cortes de media la recta, la V o las dos igual.
- Explicar cómo pueden dar lo mismo la recta y la V (la V se queda sin cortar más veces y eso compensa sus dobles).
- Elegir cuántos cortes da de media un alambre de longitud 3d, tenga la forma que tenga (el triple que una aguja recta de d).
Sala 4 · El aro lo demuestra
En lugar de una aguja, un aro: una circunferencia de radio d, igual a la distancia entre rayas, que es una aguja torcida en círculo. Apuesta: al dejarlo caer, ¿cuántas veces corta las rayas (depende de cómo caiga, entre 2 y 4; siempre 4; o siempre 2)? Se dejan caer 5 aros a mano, con un marcador de los cortes de cada uno, y con ellos se resuelve la apuesta, sin serie, porque no depende del azar: siempre salen 4. El aro mide 2d de alto y las rayas están cada d, así que dentro de esa altura siempre hay dos rayas y cada una lo corta dos veces; incluso si es tangente a una raya, son 2 + 1 + 1 = 4. Después, un recuadro de teoría: el aro es una aguja torcida de longitud 2πd que da 4 cortes, así que cada unidad de longitud da 4/(2πd) = 2/(πd) cortes de media, y de ahí entra π, que viene de la longitud del aro; si una aguja corta como mucho una raya, sus cortes medios son su probabilidad de cortar. Es la demostración de Barbier (1860), sin integrales; Buffon la había calculado en 1777 con integrales.
Tareas para el alumno
- Apostar cuántas veces corta un aro de radio d.
- Elegir cuántas veces corta un aro de radio d/2 (siempre 2: tiene siempre una raya dentro).
- Calcular los cortes medios de una aguja recta de longitud d (d · 2/(πd) = 2/π ≈ 0,637, el 63,7 % de la primera sala).
- Calcular los cortes medios de un marco cuadrado de lado d (4 · 2/π = 8/π ≈ 2,55).
Sala 5 · π cayendo del cielo
Tras el aro, 2/π de las agujas de longitud d cortan, y se puede usar al revés para calcular π contando: con N agujas y C cortes, C/N ≈ 2/π. Apuesta: con 3000 agujas, ¿dónde caerá la estimación de π (por debajo de 3,0, entre 3,0 y 3,3, o por encima de 3,3)? Se dejan caer 6 agujas a mano con un medidor de «agujas», «cortan» y «π ≈», y la apuesta se resuelve con una serie de 3000 agujas cuya estimación se dibuja en una gráfica, con π como línea discontinua. Después, un recuadro de teoría sobre la frecuencia relativa: se acerca a la probabilidad pero no la iguala, y permite estimar una cantidad que aparece en ella (ejemplo de los dardos en un cuadrado de lado 2 con un círculo de radio 1: π/4, y 785 de 1000 dan π ≈ 3,14). Despejando, π ≈ 2 · N/C. En 1901 Lazzarini contó 3408 agujas (de longitud 5/6 de d) y 355/113 = 3,1415929, seis decimales bien: con esa aguja π ≈ (5/3) · N/C, y 3408 y 1808 son 213 y 113 por 16, así que paró justo cuando la cuenta le daba 355/113. Con 3000 agujas la estimación baila en las centésimas: por cada decimal más hacen falta unas cien veces más agujas. Es el primer método de Montecarlo.
Tareas para el alumno
- Apostar dónde caerá la estimación de π con 3000 agujas.
- Despejar π en C/N ≈ 2/π (π ≈ 2 · N/C).
- Decidir qué es lo más probable del experimento de Lazzarini (paró de lanzar justo cuando la cuenta daba 355/113).
- Elegir cuántas agujas hacen falta para acertar casi seguro dos decimales (cientos de miles).
Sala 6 · Hormigas que miden su casa
Una colonia de hormigas (Leptothorax albipennis) busca casa nueva: una exploradora entra a oscuras en una habitación candidata, vista desde arriba, y pasea por ella sin rumbo, de pared a pared: en la primera visita deja un rastro con su olor y en la segunda cuenta las veces que cruza ese rastro (Mallon y Franks, 2000). Mide así el área del suelo, no el ancho. Dos habitaciones, una de 60 × 40 mm y otra del doble de área (80 × 60 mm), y en cada visita la hormiga camina 22 cm. Apuesta: en la grande, ¿cruza el doble de veces, las mismas o la mitad? Se ven 2 exploraciones a mano en las dos habitaciones, con los cruces que se encienden, y la apuesta se resuelve con 100 visitas a cada una (unos 12,8 cruces por visita en la pequeña y 6,4 en la grande). Después, un recuadro de teoría: para estimar un total que no se puede contar se usa una proporción (ejemplo de las lentejas de un saco de 3 kg: 100 pesan 6 g, así que hay unas 50 000). Es la aguja de Buffon: en el parqué hay 1/d de raya por unidad de área y una aguja de longitud ℓ corta de media (2/π) · ℓ · (1/d); en la habitación, la «raya» es el primer rastro, de longitud L₁ en un área A, y los cruces medios son 2L₁L₂/(πA). Se ve con otro caso de proporciones, la captura y recaptura de peces: se marcan 50, se pescan 40 y 8 llevan marca, luego hay unos 250. Por último, la trampa del experimento: si se cambia la mitad del suelo por suelo limpio, la exploradora cruza la mitad de veces y cree que la habitación es el doble de grande; con una trampa así, las colonias eligieron una habitación de la mitad de tamaño 8 veces de 20, cuando sin ella casi nunca lo hacían (1 de 16).
Tareas para el alumno
- Apostar cuántas veces cruza la hormiga su rastro en una habitación del doble de área.
- Elegir por qué cruza la mitad de veces (el mismo rastro, en el doble de área, queda la mitad de denso).
- Elegir la fórmula de los cruces medios, 2L₁L₂/(πA), a partir de la del parqué.
- Estimar cuántos peces hay en un lago si se marcan 50 y en una pesca de 40 hay 8 con marca (unos 250).
- Predecir qué concluye la exploradora si se cambia la mitad del suelo por suelo limpio entre visitas (que la habitación es el doble de grande).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.