Objetivos didácticos
Un lab universitario sobre resolución numérica de ecuaciones, montado alrededor de una sola pregunta que no se abandona en ninguna sala: quiero resolver esta ecuación y quiero hacerlo barato.
El orden no es el de un tema de topología —definición, teorema, aplicaciones— sino el de alguien que se encuentra el problema delante. La primera sala no explica nada: enseña la ecuación x² = 2cos 3x + 5, una tabla vacía y un campo donde escribir valores. Sin gráfica, sin intervalo de partida y sin pistas, que es exactamente la situación real de quien se topa con una ecuación que no sabe resolver. El objetivo es bajar del 1 % de error en diez pruebas, y está calibrado para que se consiga en exactamente diez con una estrategia disciplinada: aprieta de verdad, y esa frustración es lo que hace que la bisección de la sala 3 se reciba como un alivio y no como un procedimiento más que memorizar.
A partir de la sala 4 —ya con la bisección construida— todo se mide en la misma unidad, una evaluación de la función, y cada método que aparece rellena una ficha con tres casillas: qué hipótesis pide, qué encoge y por cuánto lo multiplica en cada evaluación. La sala 15 enseña la ficha completa, calculada en caliente corriendo cada método sobre cada ecuación.
El lab enfrenta dos métodos, y solo dos: la bisección y Newton. Uno pide casi nada y no puede fallar; el otro pide mucho y vuela. Todo lo demás —el plano, el teorema de Banach, la telaraña, el parámetro de relajación— está para explicar por qué el segundo gana y qué hay que pagar por ello.
Las tres ecuaciones
El lab entero cuelga de tres ecuaciones que reaparecen en todas las salas, para que comparar métodos signifique algo:
x² = 2cos 3x + 5(raíz 2,446382). La principal. No tiene fórmula cerrada, pero su lado derecho vive en [3; 7], así que se puede acotar razonando, sin gastar una sola evaluación.ln x = 3 − x(raíz 2,207940). Despejando la x de las dos maneras evidentes salen dos iteraciones con destinos opuestos:3 − ln xconverge ye^(3−x)no.x² = x + 1(el número áureo). La única con solución exacta, así que sirve de patrón para medir el error de verdad.
Qué se aprende
- Convertir un tanteo a ciegas en un método, reconociendo que lo que uno hace por instinto —buscar dos valores con la resta de signos opuestos— ya es bisección.
- Medir el coste de un método en evaluaciones de la función y no en «pasos», que es la única unidad que permite comparar dos métodos distintos.
- Leer la contractividad en el plano, sobre una figura, y saber que la constante tiene que valer para todas las parejas a la vez.
- Reconstruir el teorema de Banach por partes: los saltos decrecen geométricamente, la desigualdad triangular mete toda la cola en un círculo calculable de antemano, y el punto fijo es único.
- Traducir a ε y N esa cota: exigir una distancia y saber a partir de qué paso se cumple, sin conocer la solución.
- Elegir una reescritura
x = g(x)mirando|g′|, y fabricarse una a medida con el parámetro de relajación. - Situar Newton donde le corresponde: no es un truco, es el miembro de esa familia que elige el mejor parámetro en cada punto sin necesitar la respuesta.
- Saber cuándo no usar Newton: es el único método del lab que puede escaparse, y el alumno tiene que encontrar por sí mismo un punto de partida que lo haga saltar.
Ideas matemáticas clave
- La unidad de medida es parte del resultado. Un método se juzga por evaluaciones de la función, no por «pasos»: Newton duplica cifras en cada paso pero paga dos evaluaciones por paso, y esa contabilidad es la que decide de verdad.
- Los métodos se ordenan por lo que exigen saber de antemano. Continuidad y un cambio de signo compran 0,5 por evaluación. Contractividad demostrada compra la C que sea. Derivada y un punto de partida suficientemente cercano compran convergencia cuadrática. No hay comidas gratis, y esa progresión es la columna vertebral del lab.
- La bisección no puede fallar y no puede mejorar, y es la misma razón. Su factor 1/2 no depende de la función porque el método no mira la función: solo su signo.
- Contraer es una condición uniforme. Se ve mejor en el plano que en la recta: una aplicación que aplasta en horizontal y estira en vertical acerca la mayoría de las parejas y aun así no es contractiva, porque basta una pareja que se separe para que no exista ninguna C < 1.
- La cota del error se conoce antes de empezar.
C^m/(1−C)·d(x₀,x₁)solo necesita la constante y el primer salto, los dos medibles desde el arranque. Ningún otro método del lab da eso, y en el plano se dibuja como un círculo que contiene toda la cola del camino. - Newton es inevitable, no ingenioso. En la familia
g_λ(x) = x − λ f(x), el mejor λ es1/f′(x*)— y es inservible, porque exige conocer la solución. Recalcularlo en el punto donde uno está,λₙ = 1/f′(xₙ), da exactamente la fórmula de Newton. El precio es la segunda evaluación por paso. - Brouwer es el extremo opuesto de Banach. Pide solo continuidad y entrega existencia pura: ni unicidad, ni algoritmo, ni convergencia de la iteración.
Notas para el aula
- Las salas 1, 5, 12 y 15 son las que mejor funcionan proyectadas. La 1 admite jugarse en gran grupo, con la clase dictando valores: en cuanto alguien propone acotar usando que el coseno no pasa de 1, el lab ya ha hecho la mitad de su trabajo.
- La sala 5 (la aplicación que aplasta y estira una cara de gato) es la que más se recuerda. Pedir a la clase que busque la pareja de puntos que más se separa antes de decir nada; el error típico es buscarla en horizontal.
- La sala 7 se explica sola paso a paso, encendiendo en el dibujo las distancias de las que habla cada desigualdad. Conviene detenerla en cada paso y pedir a la clase que anticipe el siguiente antes de pulsar.
- La sala 12 es la bisagra del lab y merece tiempo. Que el alumno encuentre la ventana de λ moviendo el slider, antes de ver la condición
|1 − λf′| < 1, cambia por completo cómo se lee después la fórmula de Newton. - La sala 15 cierra: conviene dejar que la clase apueste el orden antes de destapar la tabla, y detenerse en la fila del λ óptimo, que gana a todos y es inservible.
- El bloque del plano (salas 5-8) puede darse suelto como introducción visual al teorema de Banach, sin el resto del lab.
- Las salas que más cuestan son la 1 y la 12. La 1 porque frustra a propósito; la 12 porque exige entender que se puede diseñar la iteración en vez de aceptarla como viene.
Contenidos por salas
Sala 1 · A ojo
El lab entero en miniatura, y sin ninguna ayuda: la ecuación x² = 2cos3x + 5 escrita, una tabla vacía y un campo donde escribir valores. No hay gráfica —deliberadamente: con la curva delante, encontrar la solución es señalar con el dedo— ni intervalo de partida ni pista alguna. Cada valor probado añade una fila con los dos lados, su resta y el error relativo, y resalta el mejor intento. El objetivo es bajar del 1 % en diez pruebas, y está calibrado para conseguirse en exactamente diez con una estrategia disciplinada desde un arranque frío. A la décima sin lograrlo aparece la única pista que no cuesta ninguna evaluación —el lado derecho vive en [3;7], así que x² también— y se deja seguir probando: la sala nunca bloquea.
Tareas para el alumno
- Bajar del 1 % de error en diez pruebas.
- Reconocer, mirando la columna de la resta, qué estrategia se ha seguido en realidad.
Sala 2 · Encerrar la solución
El teorema que había detrás del tanteo: si f es continua y cambia de signo entre a y b, entre medias se anula. Sobre una tabla de valores de f en cinco puntos, el alumno tiene que decir en qué intervalos Bolzano garantiza solución. La trampa es el último, con los dos extremos positivos y dos soluciones dentro: el teorema no las ve, y eso no lo hace falso. Da garantías, no un censo.
Tareas para el alumno
- Marcar los intervalos donde Bolzano garantiza que hay solución.
- Distinguir garantizar de haber, en el intervalo trampa.
Sala 3 · Partir por la mitad
El método sale solo del teorema anterior. Sobre la ecuación trigonométrica encerrada en [2;3], con los signos de f escritos bajo cada extremo y bajo el punto medio, el alumno elige seis veces con qué mitad se queda; si elige la que no conserva el cambio de signo, el lab explica por qué la solución se le quedaría fuera. Una pila de barras hace visible el encogimiento. Cierra con el detalle que hace competitiva a la bisección: los extremos vienen heredados, así que cada corte cuesta una sola evaluación.
Tareas para el alumno
- Elegir correctamente seis veces la mitad que conserva el cambio de signo.
- Determinar cuántas evaluaciones nuevas cuesta cada corte.
Sala 4 · ¿Cuánto te ha costado?
Se instala la unidad de medida de todo el lab: una evaluación de la función, que en un problema real puede ser una simulación de horas. El tanteo que el alumno acaba de hacer se redibuja como error frente a evaluaciones, en escala logarítmica, junto a la recta de la bisección perfecta. Si no hay registro de su tanteo se enseña uno típico. Cierra abriendo la ficha que cada método irá rellenando: qué hipótesis pide, qué encoge y por cuánto lo multiplica por evaluación.
Tareas para el alumno
- Comparar la propia secuencia con la bisección perfecta.
- Calcular cuántas evaluaciones necesita la bisección para dejar [2;3] en menos de una millonésima.
Sala 5 · Salimos de la recta
Apertura del bloque del plano, porque una figura que encoge se lee de un vistazo y una gráfica no. Una cara de gato y su imagen bajo T(v) = Av + b, con A = diag(0,5 · 1,3): aplasta a la mitad en horizontal y estira un 30 % en vertical. Dos puntos luminosos arrastrables miden la razón entre la distancia de antes y la de después, y el marcador guarda la mayor vista. La tarea es explorar y encontrar la razón más grande posible, que resulta ser 1,3 con los dos puntos en la misma vertical. Solo entonces aparece la definición de contractiva, ya con el «para todas las parejas» ganado a pulso: esta aplicación acerca la mayoría de las parejas y aun así no lo es.
Tareas para el alumno
- Mover los puntos y encontrar la mayor razón posible entre distancias.
- Marcar qué es cierto de la aplicación, sabiendo que la definición exige una C menor que 1 válida para todas las parejas.
Sala 6 · Adónde va el gato
Se cambia a una semejanza que sí contrae: gira 30°, encoge a 0,6 y desplaza. Como girar y desplazar no cambian distancias, toda pareja se acerca en el mismo factor. La sala arranca ya con una imagen dibujada, para que se vea qué hace la transformación antes de apostar nada; después el alumno hace clic donde cree que acabarán amontonándose los sucesivos gatos, y cada fallo añade una imagen más como pista. Al acertar se revela que ese punto es la solución de v = Av + b, o sea de un sistema lineal de dos por dos.
Tareas para el alumno
- Apostar dónde se amontonarán los gatos antes de iterar.
- Calcular cuántas imágenes hacen falta para que el dibujo mida menos de 0,01.
Sala 7 · Por qué llega a alguna parte
Explicación emergente en cuatro pasos, encendiendo en el dibujo las distancias de las que habla cada desigualdad. Paso 1: el salto de x₁ a x₂ es la imagen del de x₀ a x₁, luego mide como mucho C veces aquél — y los dos saltos se iluminan con su longitud. Paso 2: lo mismo un escalón más abajo, y encadenando sale C². Paso 3: la desigualdad triangular, con la cuerda de x₀ a x₃ dibujada junto a los tres saltos. Paso 4: «análogamente», el caso general y la suma de la serie geométrica. La conclusión —la cota se puede hacer tan pequeña como se quiera— desemboca en el reto, y al resolverlo se desbloquea un slider donde el alumno exige un ε y el dibujo le responde con el N que basta y con la bola correspondiente.
Tareas para el alumno
- Seguir los cuatro pasos y ver encenderse cada distancia en el dibujo.
- Calcular cuántos pasos garantizan estar a menos de 0,001 del límite.
- Exigir distintos valores de ε y leer el N que hace falta en cada caso.
Sala 8 · Uno, y solo uno
Cien puntos de partida repartidos por el plano iterando a la vez, todos colapsando al mismo sitio. Después, la unicidad demostrada sin iterar ni dibujar: cuatro pasos que el alumno tiene que ordenar, escritos con d(·,·) y no restando puntos, para que valgan igual en el plano, en la recta y en cualquier sitio donde haya una distancia. Cierra con el enunciado completo del teorema de Banach.
Tareas para el alumno
- Iterar la nube de cien puntos y ver que el destino no depende del arranque.
- Ordenar los cuatro pasos de la demostración de unicidad.
Sala 9 · El mismo dibujo, en la recta
Vuelta a una dimensión con lo aprendido: lo que en el plano era un gato amontonándose aquí es un corte con la diagonal y = x. Un slider sube y baja una cúbica y el alumno cuenta los cortes él mismo —los puntos verdes solo aparecen después de responder—; al desplazarla, dos cortes se juntan y desaparecen, algo que en el plano no podía pasar. Segunda parte: x² sobre el intervalo abierto (0;1) no tiene ningún punto fijo, que es la versión en la recta de lo que en el plano era la completitud.
Tareas para el alumno
- Contar los cortes de la curva con la diagonal.
- Determinar cuántos puntos fijos tiene x² en el intervalo abierto (0;1).
Sala 10 · La telaraña
Subir hasta la curva, rebotar en la diagonal, repetir. Las candidatas no son rectas de juguete sino las reescrituras reales de las ecuaciones del lab —3 − ln x, e^(3−x), x² − 1, 1 + 1/x y √(1+x)—, todas curvas, así que la pendiente varía y aparece lo que de verdad importa: lo decisivo es la pendiente EN el corte. El banco ocupa el ancho de la sala y se anima solo, diez pasos cada vez que se elige una función o se mueve el punto de partida; no hay botones de paso. La sala no deja pasar hasta haber probado las cinco, y mientras tanto avisa en rojo de cuántas quedan. Solo entonces se pregunta, y la pregunta es sobre lo que se acaba de ver.
Tareas para el alumno
- Probar las cinco reescrituras y ver cuáles se cierran sobre la solución.
- Marcar las que convergen y decir qué las distingue.
Sala 11 · El cono de pendientes
El problema práctico: no sabemos dónde está el corte, así que no podemos evaluar ahí la derivada; hay que acotarla en todo un intervalo. Y eso tiene el mismo dibujo que en el plano, el cono de pendientes ±C anclado en un punto móvil. Sobre g(x) = 3 − ln x en [1,5;3] el alumno aprieta el cono hasta el límite y encuentra sup|g′| = 2/3. Cierra con la lista de lo que hay que comprobar para aplicar Banach, incluida la condición que siempre se olvida: que g mande el intervalo dentro de sí mismo.
Tareas para el alumno
- Encontrar la C más ajustada moviendo el ancla y el cono.
- Marcar todo lo que hace falta comprobar para aplicar Banach en un intervalo.
Sala 12 · Fabricarse una que converja
La bisagra del lab. En vez de conformarse con la reescritura que toque, el alumno se fabrica la suya: g_λ(x) = x − λ·f(x) es una familia entera con un solo mando, y todos sus puntos fijos son la solución. Moviendo λ, la telaraña se redibuja sola y pasa de escaparse a converger despacio y a caer casi de un salto, con la pendiente en la solución leída en vivo. La ventana es 0 < λ < 2/f′(x*) ≈ 0,198 y el óptimo es λ = 1/f′(x*) ≈ 0,0989; al acertarlo, la iteración óptima se dibuja en verde encima de la del alumno, para no fiar la comparación a su memoria. Y ahí está la pega que hace inevitable la sala siguiente: para calcular ese λ hay que conocer la solución.
Tareas para el alumno
- Encontrar el mayor λ con el que la iteración todavía converge.
- Calcular el λ que anula la pendiente en la solución y compararlo con el suyo.
Sala 13 · Newton, sin conejo en la chistera
La salida cabe en una línea: si no conoces la solución, usa el punto en el que estás. Sustituyendo λₙ = 1/f′(xₙ) en la iteración relajada sale exactamente la fórmula de Newton, que deja de ser un truco aparte para ser el miembro de la familia que elige el mejor parámetro en cada punto sin necesitar la respuesta. Después la lectura geométrica: las tangentes se trazan una a una sobre la ecuación trigonométrica y el dibujo hace zoom tras cada una —medio segundo, muy adentro—, porque a partir de la segunda los cortes caen a menos de un píxel unos de otros. El reto es de comprensión, no de aritmética: qué recta se traza y dónde se mira.
Tareas para el alumno
- Seguir la deducción y trazar las tangentes sucesivas con su zoom.
- Reconocer cómo se construye la iteración siguiente.
Sala 14 · Lo que cuesta Newton
La convergencia cuadrática duplica las cifras correctas en cada paso, y se paga en tres monedas: hace falta la derivada y cada paso cuesta dos evaluaciones; la derivada no puede anularse cerca del camino; y solo hay garantía si se arranca suficientemente cerca. El reto es encontrar un punto de partida desde el que Newton se escape del tramo, que los hay de sobra porque f′ se anula dentro. Lo que tienen en común es que la tangente es casi horizontal, y ahí el corte sale disparado.
Tareas para el alumno
- Calcular cuántas cifras correctas hay tres pasos después de tener dos.
- Encontrar un punto de partida desde el que Newton se escape, e identificar qué tienen en común.
Sala 15 · El marcador
La ficha completa: cuatro métodos por tres ecuaciones, y en cada casilla las evaluaciones hasta acertar seis decimales, calculadas en caliente corriendo de verdad cada método. El alumno apuesta el orden antes de destapar la tabla. La fila del λ óptimo lleva asterisco a propósito: gana a todos y es inservible, porque calcular ese λ exige conocer la solución. Esa es la marca de agua del lab entero — los métodos se ordenan por lo que exigen saber de antemano, no por lo listos que parecen. Cierra eligiendo método para una situación concreta.
Tareas para el alumno
- Predecir el orden de los tres métodos antes de ver la tabla.
- Elegir el método adecuado para una ecuación cara de evaluar, sin derivada y con cambio de signo conocido.
Sala 16 · Cuando no se puede contraer
Cierre. El extremo de la escala: pedirle a la función solo continuidad. El teorema de Brouwer con la taza de café animada, y la advertencia de que en dimensión dos o más la demostración no es elemental. Se compara con Banach columna a columna —lo que cada uno pide frente a lo que cada uno da— y el lab se cierra con la pregunta que lo abría: qué tienen en común el tanteo de la primera sala, la bisección, la áurea y la iteración. La respuesta es el factor de contracción por evaluación.
Tareas para el alumno
- Marcar todas las afirmaciones ciertas al comparar Brouwer con Banach.
- Identificar qué tienen en común los cuatro métodos del lab.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.