Objetivos didácticos
Lab curricular de secundaria (1.º-2.º de ESO), sacado de los apuntes de Aritmética del PIM. Toda la aritmética de divisores se cuenta con una sola imagen: un número es una caja de ladrillos primos (60 = 2 · 2 · 3 · 5). Los ladrillos tienen siempre el mismo color: el 2 rojo ladrillo, el 3 azul, el 5 verde, el 7 amarillo y los demás grises.
Sin calculadora: todos los números que se manejan son como mucho 200, y sus ladrillos como mucho 17. Se prefiere factorizar cinco números pequeños a uno enorme.
Qué se aprende
- Partir un número hasta llegar a sus primos y descubrir que, se parta como se parta, salen los mismos ladrillos (teorema fundamental de la Aritmética).
- Reconocer primos y compuestos (el 1 no es ninguno de los dos) y encontrarlos con la criba de Eratóstenes, que explica por qué basta con tachar hasta el primo cuyo cuadrado cabe en la tabla.
- Los criterios de divisibilidad del 2, el 5 y el 3 (antes de los primos, para reconocerlos mejor).
- Factorizar con la escalera de divisiones y escribir el resultado en potencias.
- Un divisor es una caja dentro de otra: m divide a n cuando sus ladrillos están en la caja de n, y los que quedan forman n/m. Decidir si un número divide a otro sin dividir.
- Máximo común divisor y mínimo común múltiplo con un diagrama de dos círculos: el mcd son los ladrillos del centro; el mcm, todos, con los del centro una vez. Por qué ser múltiplo de 4 y de 6 no obliga a serlo de 24, qué son dos números coprimos y por qué mcd · mcm = a · b. Problemas de cuerdas y autobuses.
- Encontrar todos los divisores de un número: a mano (y ver que se escapan), con la tabla de dos primos, por parejas d · n/d y probando solo hasta √n.
- Los números con una cantidad impar de divisores son los cuadrados perfectos (exponentes pares), y el problema de las taquillas.
Ideas matemáticas clave, por bloque
A · Ladrillos (salas 1-5). Primos como ladrillos indivisibles, unicidad de la factorización, criba, criterios y escalera de divisiones.
B · Divisores (salas 6-8). m | n si n = m · k; con ladrillos, los de m caben en la caja de n.
C · Comunes (salas 9-13). mcd y mcm con el diagrama; mcm(b, c) | a si b | a y c | a; coprimos; mcd · mcm = a · b.
D · Todos los divisores (salas 14-20). La tabla de p^a · q^b (sin la fórmula general, por decisión docente), el menor número con una tabla dada, parejas, hasta √n, cantidad impar ⇔ cuadrado perfecto, taquillas.
Notas para el profesor
- La fórmula general (α₁ + 1)(α₂ + 1)··· no aparece a propósito: se cuenta con la tabla de dos primos.
- Cada sala tiene su explicación en el libro de la tira de retos; las de descubrimiento (1, 12, 16, 19, 20) la enseñan después del primer reto.
Contenidos por salas
Sala 1 · El martillo
Partir 120 con el martillo hasta los ladrillos; teorema fundamental en el libro tras comparar.
Tareas para el alumno
- Apuesta: Ana parte 4 · 30 y Luis 6 · 20, ¿qué pasa al final? (los mismos ladrillos).
- Partir 120 como Ana y como Luis.
- Partir 84 libremente.
- Construir la caja de 168 = 2 · 84 sin partir.
Sala 2 · Criterios del 2, el 3 y el 5
Criterios (va antes que los primos); en el libro, animación 234 = 2 · 100 + 3 · 10 + 4 → 2 + 3 + 4 = 9 y un ejemplo escrito (153 y 130).
Tareas para el alumno
- Marcar múltiplos de 2, de 3 y de 5 en tres listas.
- Test de velocidad en tres tandas con el divisor en grande: del 2 y del 5, cinco números (un fallo repite la tanda); del 3, diez.
Sala 3 · Los ladrillos: números primos
Primos (exactamente dos divisores), compuestos y el 1.
Tareas para el alumno
- Tres listas «marca los primos» con trampas (51, 91, 143; la tercera con el 1 y el 33).
- Por qué el 1 no es primo.
Sala 4 · La criba de Eratóstenes
Criba animada en una tabla de 50 (2 tachones por segundo, pausas de 2 s) y luego de 300, hasta el 17; termina con los primos menores de 50.
Tareas para el alumno
- Primer número nuevo que tacha el 7 (49).
- Siguiente número primo tras el 7 (11).
- ¿Hace falta el 11 en la tabla de 50? (no: 121).
Sala 5 · Abrir la caja: factorizar
Escalera de divisiones del 132 paso a paso en el libro.
Tareas para el alumno
- Dos controles de primos (el segundo con el 1).
- Escalera como en el cuaderno para 84, 90, 126, 231 y 168: cada casilla se comprueba al salir de ella; empezar por un primo grande vale, con la recomendación de empezar por los pequeños.
Sala 6 · Divisores a ojo
Qué es un divisor: n = m · k.
Tareas para el alumno
- 99, 75 y 91: marcar los divisores de una lista y escribir el que falta (3, 5, 13).
Sala 7 · Una caja dentro de otra
m | n cuando los ladrillos de m están en la caja de n; los que quedan forman n/m.
Tareas para el alumno
- Sacar de 180 un divisor entre 40 y 50 (45) y decir qué queda (4).
- 168: divisor impar mayor que 10 (21; quedan 8).
- 150: divisor par entre 20 y 40 (30; quedan 5).
Sala 8 · ¿Cabe o no cabe?
Decidir sin dividir, con las dos cajas.
Tareas para el alumno
- Seis sí/no (12 | 180, 8 | 60…).
- Menor número por el que multiplicar 60 para que 8 lo divida (2).
Sala 9 · Ladrillos comunes
Diagrama de dos círculos con los comunes en el centro (36 y 60).
Tareas para el alumno
- Llevar al centro los comunes de 42 y 56, 30 y 45, 48 y 72.
Sala 10 · Máximo común divisor
mcd = los ladrillos del centro.
Tareas para el alumno
- mcd de 98 y 140, 120 y 168, 84 y 126.
- Cuerdas de 90 y 150 cm: trozo más largo (30) y número de trozos (8).
Sala 11 · Mínimo común múltiplo
mcm = todos los ladrillos, los del centro una vez.
Tareas para el alumno
- mcm de 14 y 21, 20 y 30, 36 y 54, 24 y 40.
- Autobuses cada 12 y 18 minutos (36).
Sala 12 · La trampa del 4 y el 6
Primero el reto, luego la teoría: mcm(b, c) | a; coprimos.
Tareas para el alumno
- Múltiplo de 4 y 6, ¿de 24? (no: 12); 6 y 7; 6 y 9; 8 y 15.
- Pareja de coprimos (8 y 15).
- Múltiplo de 10 y 15: seguro de 30.
Sala 13 · mcd · mcm
mcd · mcm = a · b con el diagrama.
Tareas para el alumno
- Hallar el otro número: (6, 180, 36) → 30, (4, 120, 24) → 20, (5, 150, 30) → 25.
- mcm a partir del mcd: 18 y 24, 28 y 42.
Sala 14 · Todos los divisores
Descubrimiento: marcar a mano en una cuadrícula; solo se dice cuántos faltan o sobran.
Tareas para el alumno
- Todos los divisores de 84 y de 96.
Sala 15 · La tabla de divisores
Tabla de 200 = 2³ · 5² (4 × 3), interactiva en el libro.
Tareas para el alumno
- Apuesta: ¿más divisores 64 o 60?
- Rellenar las tablas de 72 y 98.
- Contar con la tabla imaginada: 48, 100, 54.
Sala 16 · Tablas por encargo
Exponentes grandes en los primos pequeños (teoría tras el primer reto).
Tareas para el alumno
- Menor número con tabla de 6, 9, 8 y 10 casillas (12, 36, 24, 48).
Sala 17 · Los divisores van por parejas
d ↔ n/d con arcos (36 animado en el libro).
Tareas para el alumno
- Emparejar los divisores de 60 y de 100.
- Pareja de 12 en 144, 8 en 120, 14 en 196, 15 en 180.
Sala 18 · Hasta la raíz
En cada pareja uno es ≤ √n: basta probar primos hasta √n.
Tareas para el alumno
- ¿Hasta qué primo para 187? (13).
- ¿Son primos 151, 169, 187, 191?
Sala 19 · Una cantidad impar de divisores
Descubrimiento: cantidad impar ⇔ cuadrado perfecto ⇔ exponentes pares.
Tareas para el alumno
- Dos listas «marca los de cantidad impar».
- Cuál es cuadrado entre cajas; por cuánto multiplicar 18 (2).
Sala 20 · Las taquillas
Misión final: 200 taquillas y 200 alumnos, animación con ×4 y «Volver a ver».
Tareas para el alumno
- Apuesta: cuántas quedan abiertas (14).
- Veces que se toca la 36 (9) y por qué queda abierta.
- Taquillas tocadas exactamente 3 veces (6); última abierta (196).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.