Lab de Topología para segundo de grado. Una topología es una lista de conjuntos a los que se llama abiertos, y nada más: el lab hace que el alumno la construya con las manos antes de usarla. Primero en un conjunto de tres puntos (●, ■, ★) dibujados en un triángulo, donde cada abierto es una patata que rodea a sus puntos; después en la recta y en el plano, con las topologías que salen en todo curso: canónica, de Sorgenfrey, de semirrectas derechas, cofinita, discreta y lexicográfica.

Los ejemplos y los retos son distintos de los de los apuntes del curso: el lab sirve de práctica extra, no repite la teoría.

Qué se aprende

• Decidir si una familia es una topología y, si no lo es, señalar qué unión o qué intersección falta.
• Construir la topología generada por unos conjuntos: la más pequeña que los contiene, cerrando por uniones e intersecciones.
• Que en tres puntos hay 29 topologías y solo 9 tipos si se cambian los nombres de los puntos.
• Los cerrados como complementarios de los abiertos, y que abierto y cerrado no son opuestos.
• Qué es una base (las dos condiciones), qué topología genera y cuál es la base más pequeña de un espacio finito.
• Reconocer si una familia de subconjuntos de ℝ es topología y encontrar el contraejemplo cuando no lo es.
• Las cinco topologías de referencia de la recta por la forma de sus abiertos de la base, y decidir si un conjunto es abierto, cerrado, las dos cosas o ninguna en cada una.
• La topología heredada: un conjunto no es abierto a secas, es abierto en un universo.
• Comparar topologías: más fina = más abiertos; el criterio de encajar un abierto de la base de una dentro de un abierto de la base de la otra («el ladrillo»).
• El orden lexicográfico del plano, sus intervalos, y que su topología es estrictamente más fina que la usual.

Ideas matemáticas clave

• Abierto es estar en la lista. No hay nada geométrico en la definición: lo geométrico aparece al elegir la lista.
• Lo que falta no se elige. Si una familia contiene A y B, la topología tiene que contener A ∪ B y A ∩ B; por eso la topología generada es única.
• Comparar topologías es comparar entornos. 𝒯 ⊂ 𝒯′ si y solo si alrededor de cada punto, dentro de cada abierto de la base de 𝒯, cabe un abierto de la base de 𝒯′ que lo contiene. Discos, cuadrados y rombos dan la misma topología porque se encajan unos en otros.
• En Sorgenfrey los extremos derechos son los que dan problemas. (a; b) es unión de intervalos [x; b), pero ningún (c; d) que contenga a a cabe en [a; b).
• El mapa de la recta. trivial ⊂ {SRD, cofinita} ⊂ canónica ⊂ Sorgenfrey ⊂ discreta, con SRD y cofinita incomparables.
• En el plano lexicográfico los entornos son segmentos verticales. La recta vertical x = 0 es abierta y la horizontal no.

Fuentes y créditos

La notación y el orden siguen los apuntes del curso de Topología de U-tad (temas 3 y 4). Referencias generales: J. R. Munkres, Topology (2.ª ed., 2000), capítulos 2 y 3; L. A. Steen y J. A. Seebach, Counterexamples in Topology (1978), para las topologías de la recta y el cuadrado ordenado.

Notas para el aula

• «Colecciona las topologías de tres puntos» funciona bien como competición por parejas: ¿quién encuentra antes los 9 tipos?
• «El criterio del ladrillo» se entiende al momento proyectado, con la animación que cubre el disco de cuadrados.
• «Cubrir la bola con segmentos» muestra en una imagen por qué el lexicográfico es más fino que el usual: conviene preguntar antes si la recta x = 0 es abierta.