Objetivos didácticos
Tercer lab de teoría de grupos, para primer curso. Sigue a «Grupos que se ven» y a «Clases laterales y cocientes», y usa lo que allí se aprende (permutaciones, conmutadores, grupos resolubles) para demostrar que no existe una fórmula con radicales para la ecuación general de quinto grado.
La demostración no es la de Galois con cuerpos. Es la topológica de V. I. Arnold: se mueve un coeficiente del polinomio por un lazo cerrado del plano complejo y se mira qué hacen las raíces. Todo se ve en pantalla: dos planos, el del coeficiente a, con sus puntos peligrosos en rojo, y el de las raíces, con cinco puntos de colores que dejan estela. Al cerrar el lazo, las raíces vuelven al mismo sitio… pero cambiadas de orden.
Qué se aprende
- Escribir fórmulas como cadenas de radicales y saber qué significa exactamente «resoluble por radicales».
- Ver las raíces de un polinomio como puntos que se mueven al cambiar un coeficiente, y encontrar los valores en que chocan (puntos de ramificación) con P = P′ = 0.
- Asociar a cada lazo una permutación de las raíces, componer lazos y ver que para x⁵ − x + a se consigue cualquier permutación.
- Ver que las permutaciones de los lazos forman un grupo y reconocerlo (Zₙ, Δₙ, Aₙ o Sₙ) a partir de la lista completa: S₅ para x⁵ − x + t, pero Z₅ o Δ₅ para otras quínticas.
- Leer permutaciones con diagramas de flechas, multiplicarlas, invertirlas y calcular su paridad contando trasposiciones.
- Entender por qué una fórmula con radicales no puede seguir a las raíces a lo largo de los conmutadores de lazos, y de los conmutadores de conmutadores.
- Ver que en S₄ los conmutadores anidados se acaban (por eso el grado 4 tiene fórmula) y en A₅ no se acaban nunca.
- Con polinomios elegidos por el alumno: dibujar sus propios lazos, calcular el grupo de monodromía y decidir si esa ecuación concreta tiene fórmula. Hay presets con grupos Δ₅, S₅, Z₅, S₄, Δ₄, Z₄ y Δ₃.
Ideas matemáticas clave
- Un lazo permuta las raíces. Las raíces de x⁵ − x + a chocan solo en cuatro valores de a, ±4/(5·⁴√5) y ±4i/(5·⁴√5). Rodear uno de ellos intercambia dos raíces.
- Los radicales conmutan. Un lazo multiplica todos los valores de ᵏ√p(a) por la misma raíz de la unidad, así que un conmutador de lazos los deja en su sitio. Con N radicales anidados, lo hacen los conmutadores N veces anidados.
- A₅ está hecho de conmutadores. Toda permutación par de cinco elementos es producto de conmutadores de permutaciones pares, así que siempre queda un lazo que la fórmula no puede seguir.
- Monodromía = Galois. El grupo que generan los lazos es el grupo de Galois del polinomio sobre C(t): hay fórmula si y solo si es resoluble. Algunas quínticas concretas, como la de Chebyshev x⁵ − 5x³ + 5x + t (grupo Δ₅), sí la tienen.
Fuentes y créditos
Sigue la lección 5, «Equations of degree five», de Mathematical Omnibus de D. Fuks y S. Tabachnikov (AMS, 2007), basada en las lecciones de V. I. Arnold para escolares de Moscú (1963-64), y el libro El teorema de Abel en problemas y soluciones de V. B. Alekseev, que sale de esas mismas lecciones.
Notas para el aula
- «Dar la vuelta a a₀» es la sala clave: conviene proyectarla y recorrer el lazo despacio para que se vea cómo se cruzan las dos raíces.
- «El explorador de lazos» y «Lazos a mano» funcionan bien en pareja: uno propone una permutación y el otro dibuja el lazo.
- «Un radical no basta» es el corazón de la demostración; merece pararse en la cuenta m₁ + m₂ − m₁ − m₂ = 0.
- «El grupo de monodromía» deja una sorpresa para el final: hay quínticas que sí tienen fórmula.
Contenidos por salas
Sala 1 · Fórmulas como cadenas
Las fórmulas de grado 2 y 3 escritas como cadenas de radicales (x₁² = p² − 4q, …). Definición de «resoluble por radicales».
Tareas para el alumno
- Recorrer la cadena de Cardano de x³ − 6x − 9 = 0.
- Contar los valores de una cadena de exponentes 2, 3 y 5.
Sala 2 · Raíces de la unidad
Multiplicar complejos suma ángulos; xᵏ = c tiene k soluciones x₁εʲ. Punto z arrastrable con sus potencias.
Tareas para el alumno
- Llevar z a una raíz quinta de 1.
- Ángulos y número de soluciones.
Sala 3 · Una quíntica fácil
x⁵ + a: una vuelta de a gira las raíces 1/5 de vuelta; los lazos solo dan giros y la fórmula ⁵√−a existe.
Tareas para el alumno
- Contar vueltas y leer la permutación de un lazo.
Sala 4 · Raíces que se mueven
Se arrastra a en x⁵ − x + a y las cinco raíces se mueven sin chocar.
Tareas para el alumno
- Acercar dos raíces (descubrimiento).
- Qué pareja se acerca por el eje real.
Sala 5 · Los valores peligrosos
Raíz doble ⇔ 5b⁴ = 1 ⇒ a⁴ = 4⁴/5⁵: cuatro valores ±a₀, ±ia₀ (a₀ ≈ 0,535).
Tareas para el alumno
- Por qué una raíz doble anula la derivada.
- Arrastrar a hasta −a₀ y ver chocar dos raíces; dónde está la raíz doble.
- Por qué son cuatro y por qué forman un cuadrado.
Sala 6 · Un lazo cerrado
Un lazo desde 0 devuelve las raíces al conjunto, pero permutadas; sin rodear nada, la identidad.
Tareas para el alumno
- Dibujar un lazo que no permute y otro que sí.
Sala 7 · Dar la vuelta a a₀
Cerca de b₀, a ≈ a₀ − 10b₀³ε²: una vuelta de a es media vuelta de x y se intercambian 0 y 1.
Tareas para el alumno
- Qué raíces se intercambian; dos vueltas.
Sala 8 · Girar 90°
Las raíces de x⁵ − x + ia son i veces las de x⁵ − x + a: los otros tres lazos dan (2 5), (3 5), (4 5).
Tareas para el alumno
- Predecir cada intercambio antes de verlo.
Sala 9 · Permutaciones con flechas
Notación en ciclos, diagramas de flechas, producto apilando (primero α) e inversa reflejando.
Tareas para el alumno
- Leer un diagrama en ciclos; productos (1 2)(3 4) · (2 3)(4 5) en los dos órdenes; inversa de (1 4 3 5 2).
Sala 10 · Trasposiciones y paridad
Un ciclo de longitud k es producto de k − 1 trasposiciones; paridad leída en ciclos disjuntos; 60 pares y 60 impares; el conmutador siempre es par.
Tareas para el alumno
- Contar trasposiciones y decidir paridades.
Sala 11 · Componer lazos
Componer lazos multiplica permutaciones; con los lazos básicos (i 5) se consigue cualquiera.
Tareas para el alumno
- Construir palabras de lazos para cinco permutaciones objetivo.
Sala 12 · Puntos de ramificación
Raíz doble ⇔ P = P′ = 0; con t independiente, Q′(b) = 0 y t = −Q(b). Casos x³ − 3x + t, x⁴ − 2x² + t (dos raíces dobles en t = 1) y x⁵ + t.
Tareas para el alumno
- Calcular y contar puntos de ramificación.
- Leer el lazo de una doble raíz doble.
Sala 13 · Cada polinomio, su grupo
Las permutaciones que consiguen los lazos forman un grupo, el de monodromía. El motor da la lista completa, ordenada por tipo de ciclos, y el alumno reconoce el grupo entre Zₙ, Δₙ, Aₙ y Sₙ. Ejemplo resuelto: x⁵ − x + t, con las 120 permutaciones (S₅).
Tareas para el alumno
- Reconocer Z₅ (x⁵ + t), S₃ (x³ − 3x + t), Δ₄ (x⁴ − 2x² + t), Δ₅ (Chebyshev) y S₄ (x⁴ + tx + 1).
- Descartar opciones del mismo orden por su estructura, como Z₆, Z₈ o Z₁₀.
Sala 14 · Lazos a mano
Solo lazos dibujados: se ve cómo cada raíz sigue su estela y en qué asiento acaba, y la permutación con su diagrama.
Tareas para el alumno
- Dibujar lazos que den (1 5), un 3-ciclo, ninguna raíz fija, la identidad rodeando un punto y 1 → 3 en x⁵ + t.
Sala 15 · El lazo grande
El lazo que rodea los cuatro puntos da un 5-ciclo; ℓ₁ℓ₂ℓ₃ℓ₄ = (1 2 3 4 5).
Tareas para el alumno
- Calcular el producto y leer el lazo grande.
Sala 16 · Conmutadores de lazos
[ℓ₁, ℓ₂] = ℓ₁ℓ₂ℓ₁⁻¹ℓ₂⁻¹ produce el conmutador de las permutaciones: (1 5 2), (1 5 3), (2 5 3).
Tareas para el alumno
- Calcular tres conmutadores.
Sala 17 · Un radical no basta
Un lazo multiplica todos los valores de ᵏ√p(a) por el mismo εᵐ; en un conmutador m₁ + m₂ − m₁ − m₂ = 0.
Tareas para el alumno
- Seguir exponentes; concluir que un solo radical no resuelve la quíntica.
Sala 18 · La torre de radicales
Torre a → x₁ → … → x_N; los conmutadores N veces anidados devuelven todos los eslabones (lemas 5.6-5.7).
Tareas para el alumno
- Contar valores, niveles y tramos.
Sala 19 · Por qué el grado 4 sí
En S₄ los conmutadores de pares dan solo V₄; la cúbica x³ + ax − 1.
Tareas para el alumno
- Encontrar las 4 permutaciones.
- Valores peligrosos de la cúbica: cuántos y por qué forman un triángulo equilátero.
Sala 20 · A₅ está hecho de conmutadores
Toda par es producto de 3-ciclos y dobles trasposiciones; teorema: con 5 elementos ambos son conmutadores de pares, (1 2 3) = [(1 2)(4 5), (1 2 3)] y (1 2)(3 4) = [(2 3 4), (1 2 4)]. Calculadora de [α, β].
Tareas para el alumno
- Conmutador de dos que conmutan; relación entre [α, β] y [β, α].
- Calcular (1 2)(2 3); para qué sirve el (4 5).
- Contar los conmutadores de A₅ y A₄.
Sala 21 · El lazo anidado
[[ℓ₁, ℓ₂], [ℓ₂, ℓ₃]] da (1 5)(2 3), con 16 tramos básicos.
Tareas para el alumno
- Leer su permutación y contar tramos.
Sala 22 · Una serie que nunca baja
A₅′ = A₅: siempre hay un lazo N veces anidado que mueve las raíces; S₄ sí baja.
Tareas para el alumno
- Tamaños de la serie derivada.
Sala 23 · El explorador de lazos
Polinomio a elegir (presets Δ₅, S₅, Z₅, S₄, Δ₄, Z₄, Δ₃ o libre, con t en cualquier coeficiente); el motor dibuja los puntos de ramificación; lazos a mano y preprogramados; grupo de monodromía en el juego libre.
Tareas para el alumno
- Seis retos sobre presets.
- Juego libre con el grupo a la vista.
Sala 24 · El grupo de monodromía
Los lazos básicos generan el grupo de Galois; resoluble ⇔ hay fórmula.
Tareas para el alumno
- Identificar Δ₅, S₄, Z₄, Δ₄ y S₅.
- Qué quíntica tiene fórmula.
Sala 25 · Tu quíntica con fórmula
Descubrimiento: construir una quíntica con grupo resoluble distinta de x⁵ + t.
Tareas para el alumno
- Encontrar una (pista a los 3 intentos, salida a los 6).
Sala 26 · La demostración entera
Los siete pasos de la sección 5.10.
Tareas para el alumno
- Ordenarlos, encontrar el paso falso, qué falla en grado 4.
Sala 27 · Grado 5 y más
xⁿ − xⁿ⁻⁴ + axⁿ⁻⁵ = xⁿ⁻⁵(x⁵ − x + a); historia sobria: Ruffini, Abel, Galois, Arnold.
Tareas para el alumno
- Cuatro preguntas de cierre.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.