Objetivos didácticos
Tercer lab de teoría de grupos, para primer curso. Sigue a «Clases laterales y cocientes» y estudia las aplicaciones entre grupos que respetan la estructura: qué se pierde, qué se conserva y cuándo dos grupos son en el fondo el mismo.
El hilo es que un homomorfismo es una aplicación que respeta las flechas: se enciende cada elemento de G, una flecha lo lleva a su imagen y las potencias de un generador van a las potencias de su imagen. Lo que la aplicación aplasta es el núcleo, lo que alcanza es la imagen, y el primer teorema de isomorfía los une con el cociente de la sala anterior. De ahí se pasa a reconocer grupos isomorfos, a descomponer grupos en productos y a contar los automorfismos, hasta el cubo, que da un homomorfismo de S₄ en S₃, y una última sala con un zoo de cocientes G/N ≅ Q. Sigue «Centro, conmutadores y resolubles».
Qué se aprende
- Entender los homomorfismos como aplicaciones que respetan las flechas, y comprobar con un banco de pruebas cuándo una asignación de generadores define un homomorfismo y cuándo da una contradicción.
- Calcular el núcleo y la imagen, y usar la fórmula |G| = |núcleo| · |imagen|.
- Enunciar y ver el primer teorema de isomorfía: G/núcleo ≅ imagen.
- Ver que el orden de φ(g) divide al de g, y que se conserva si φ es inyectivo (en particular, en un isomorfismo); calcular órdenes en Z₁₃* y Z₂₁* y usarlos para contar homomorfismos y descartar isomorfismos.
- Emparejar grupos isomorfos (V₄ y Z₂×Z₂, Z₂×Z₃ y Z₆, Δ₃ y S₃…) y detectar los que no tienen pareja.
- Reconocer productos directos en los diagramas y decidir cuándo Zₘ×Zₙ es cíclico: justo cuando mcd(m, n) = 1.
- Decidir si un grupo es un producto mirando invariantes: el reparto de órdenes y si es abeliano.
- Calcular los automorfismos de Zₙ (r ↦ rᵏ con mcd(k, n) = 1) y ver que Aut(Zₙ) ≅ Uₙ.
- Contar los automorfismos de Z₂×Z₂ y de otros grupos pequeños, y los homomorfismos de S₄ en S₃.
Ideas matemáticas clave
- Un homomorfismo se decide en los generadores. Basta decir adónde van; si las relaciones no se respetan, aparece una contradicción.
- El núcleo siempre es normal, y la imagen es un subgrupo del destino. En el lab, el núcleo se pinta en violeta y la imagen en ámbar.
- El primer teorema de isomorfía. Al colapsar la tabla por el núcleo se obtiene exactamente la tabla de la imagen, con los mismos colores.
- ord φ(g) divide a ord g. Porque φ(g)ⁿ = φ(gⁿ) = e. Si φ es inyectivo son iguales, así que los grupos isomorfos tienen el mismo reparto de órdenes.
- Zₘ×Zₙ ≅ Zₘₙ si mcd(m, n) = 1. Si no, el producto no tiene ningún elemento de orden mn.
- Aut(Z₈) ≅ Z₂×Z₂ y Aut(Z₂×Z₂) ≅ S₃. Los automorfismos son un grupo con estructura propia.
- Hay 10 homomorfismos de S₄ en S₃. Seis son sobreyectivos (con núcleo V₄, de 4 elementos), tres tienen imagen de 2 elementos y uno es trivial.
- Las rotaciones del cubo recolocan sus tres ejes. Eso da un homomorfismo de S₄ en S₃ con núcleo de 4 elementos (Arnold).
- Un cociente se reconoce en su tabla. Al colapsar la tabla de G por las clases de N sale la de un grupo conocido: Δ₈/Z(Δ₈) ≅ Δ₄, Q₈/Z(Q₈) ≅ Z₂×Z₂, A₄/V₄ ≅ Z₃… El isomorfismo dice qué clase va a qué elemento, y no es único.
Fuentes y créditos
Los dibujos, el banco de pruebas de homomorfismos y los isomorfismos siguen Visual Group Theory de Nathan Carter (MAA, 2009). El homomorfismo del cubo sigue El teorema de Abel en problemas y soluciones de V. B. Alekseev, basado en las lecciones de V. I. Arnold.
Notas para el aula
- «Aplicaciones que respetan flechas»: dejar que el alumno pruebe asignaciones absurdas; la contradicción en rojo (por ejemplo Z₃ → Z₂ con r ↦ r) enseña más que la asignación correcta.
- «Núcleo e imagen» y «El primer teorema de isomorfía» se hacen seguidas, con la tabla por bloques a la vista.
- «Parejas isomorfas» tiene trampas: grupos que no tienen pareja. Pedir que justifiquen con un invariante.
- «El cubo y sus tres ejes» se puede proyectar con el cubo girando y contar los ejes a la vez.
- «Zoo de cocientes» cierra el lab: proyectar Δ₈/Z(Δ₈) ≅ Δ₄ y, antes de colapsar, preguntar a qué grupo de 8 elementos se parecerá; después, Z₄×Z₂ entre dos subgrupos distintos de 2 elementos da dos cocientes distintos.
Contenidos por salas
Sala 1 · Aplicaciones que respetan flechas
Animación: cada elemento de G se enciende y una flecha lo lleva a su imagen en H; las potencias de un generador van a las mismas potencias de su imagen. Tres demos: Z₆ → Z₃ (r ↦ r), Z₃ → Z₂ (r ↦ r, contradicción al volver a e) y Z₃ → Δ₃ (la imagen son solo los 3 giros). En cada reto, un banco de pruebas: se asigna la imagen de cada generador y «Seguir las flechas» propaga y marca la contradicción si la hay.
Tareas para el alumno
- Construir homomorfismos Z₄ → Z₂, los dos Δ₄ → Z₂ que mandan un generador a e y otro a r, Z₄ → Z₈ inyectivo y Z₃ → Δ₃ no trivial.
- Decidir si hay uno no trivial Z₅ → Z₃ (no), contar los no triviales Z₆ → Z₄ (1) y si hay uno inyectivo Z₆ → Δ₃ (no: Z₆ es abeliano y Δ₃ no).
- A dónde va siempre e.
Sala 2 · Núcleo e imagen
Demo animada Z₆ → Δ₃ (r ↦ r): núcleo {e, r³}, imagen los 3 giros, 6 = 2 · 3. |G| = |núcleo| · |imagen| con Δ₄ → Z₂, Z₁₂ → Z₄, Z₆ → Z₆, Z₆ → Δ₃ (r ↦ s, imagen {e, s}), Z₄ → Z₈ (inyectivo, imagen 4 de 8) y el signo de S₄.
Tareas para el alumno
- Calcular núcleos e imágenes, también cuando la imagen no es todo el grupo.
- Reconocer A₄ como núcleo del signo.
Sala 3 · El primer teorema de isomorfía
G/ker φ ≅ im φ visto con la tabla: se ordena G por clases del núcleo, se colapsa y al lado aparece la tabla de la imagen con los mismos colores (gN ↦ φ(g)). Demos: Δ₄ → Z₂ (giros a e, volteos a r) y Z₆ → Δ₃ (r ↦ r, la imagen no es todo Δ₃).
Tareas para el alumno
- Reconocer G/núcleo en Z₁₂ → Z₄, Z₁₂ → Z₆, Δ₆ → Δ₃ y Q₈ → Z₂×Z₂.
- Contar la imagen de A₄ → Z₃ (3).
Sala 4 · El orden y los homomorfismos
Teorema con fórmulas: si g tiene orden n, φ(g)ⁿ = φ(gⁿ) = φ(e) = e, así que ord φ(g) divide a ord g; si φ es inyectivo, son iguales, y un isomorfismo conserva el reparto de órdenes. Visual: dos ruedas de potencias que avanzan a la vez (g a la izquierda, φ(g) a la derecha); cada gᵏ se pinta del color de su imagen. Demos Z₁₂ → Z₄ (la rueda de 4 da 3 vueltas) y Z₄ → Z₈ con r ↦ r² (inyectivo: mismo orden).
Tareas para el alumno
- Órdenes en Z₁₃*: de 2 (12) y de 3 (3); cuántos elementos de orden 12 (4).
- A dónde manda r un homomorfismo inyectivo Z₄ → Z₁₃* (5 u 8) y cuántos homomorfismos Z₆ → Z₁₃* hay (6).
- Elementos de orden 2 en Z₂₁* (3) y si hay un homomorfismo inyectivo Z₁₂ → Z₂₁* (no).
Sala 5 · Parejas isomorfas
Isomorfos = la misma tabla salvo los nombres: V₄ y Z₂×Z₂ con los mismos colores; Z₄ no lo es (tiene un elemento de orden 4). Cuatro rondas de emparejar tarjetas de grupos, con trampas sin pareja: Zₘ×Zₙ y Zₘₙ, unidades (Z₁₃*, Z₂₁*, Z₁₆*, Z₂₄*, con los órdenes de la sala anterior), Δ₃ y S₃, Δ₆ y Δ₃×Z₂, el cubo y S₄, Q₈ y Δ₄… Tras la primera ronda, el isomorfismo Z₁₂ → Z₃×Z₄ se construye en el banco de flechas eligiendo la imagen de r.
Tareas para el alumno
- Emparejar grupos isomorfos y señalar los que no tienen pareja, en cuatro rondas.
- Mandar r a un elemento de orden 12 de Z₃×Z₄ y comprobar con las flechas que sale una biyección.
Sala 6 · Inflar un diagrama
El diagrama de Zₘ×Zₙ se obtiene inflando uno en otro. Zₘ×Zₙ es cíclico si y solo si mcd(m, n) = 1.
Tareas para el alumno
- Decidir si seis productos son cíclicos.
- Enunciar la regla del mcd.
Sala 7 · ¿Es un producto?
Reconocer productos por invariantes: Δ₆ ≅ Δ₃×Z₂, Z₆×Z₂ ≇ Z₁₂, Q₈ ≇ Z₄×Z₂…
Tareas para el alumno
- Decidir seis descomposiciones.
Sala 8 · Automorfismos de Zₙ
Un automorfismo es un isomorfismo de un grupo en sí mismo. En Zₙ, r ↦ rᵏ lo es si y solo si mcd(k, n) = 1. Demos en Z₆: r ↦ r⁵ sí, r ↦ r² no (imagen {e, r², r⁴}). Aut(Z₈) con su tabla de composición: multiplicar exponentes módulo 8.
Tareas para el alumno
- Encontrar los 4 automorfismos de Z₅.
- Contar los de Z₈ (4) y Z₉ (6).
- Reconocer Aut(Z₈) ≅ Z₂×Z₂.
Sala 9 · Los automorfismos de Z₂×Z₂
Con dos generadores a, b: cada automorfismo permuta los tres elementos de orden 2. Son 6 y forman S₃. Contraste: Z₄, del mismo tamaño, solo tiene 2.
Tareas para el alumno
- Encontrar los 6 automorfismos de Z₂×Z₂.
- Reconocer Aut(Z₂×Z₂) ≅ S₃.
- Contar los de Z₄ (2).
Sala 10 · Homomorfismos de S₄ en S₃
El banco de pruebas con S₄ dibujado en 6 corros de 4 (las clases de V₄): todo homomorfismo manda cada corro entero a un elemento de S₃. Demos: uno sobreyectivo y uno con contradicción (c⁴ = e no se respeta). Hay 10: 6 sobreyectivos, 3 con imagen de 2 elementos y el trivial.
Tareas para el alumno
- Construir uno sobreyectivo y uno con imagen de 2 elementos.
- Contar todos (10).
- Dar el núcleo de uno sobreyectivo (4).
Sala 11 · El cubo y sus tres ejes
Penúltima sala. Cubo 3D con sus tres ejes de caras pegados, cada uno de su color hasta los extremos: cada giro los recoloca en sus 3 sitios. Ejemplos animados: un cuarto de vuelta intercambia dos ejes; un giro por una diagonal los mueve en ciclo. El cubo no gira solo, y los 3 sitios son direcciones fijas (izquierda–derecha, arriba–abajo, delante–detrás). Dos tablas comparan el principio con ahora: qué eje hay en cada dirección (6 posibilidades) y qué caras quedan arriba y delante (24, una por rotación). Homomorfismo S₄ → S₃ con núcleo de 4 (Arnold).
Tareas para el alumno
- Encontrar el núcleo.
- Contar la imagen.
- Reconocer el cociente S₃.
Sala 12 · Zoo de cocientes
Última sala. Diez vitrinas con parejas G/N ≅ Q: Δ₈/Z(Δ₈) ≅ Δ₄, Δ₄/Z(Δ₄) ≅ Z₂×Z₂, Q₈/Z(Q₈) ≅ Z₂×Z₂, Δ₆/⟨r²⟩ ≅ Z₂×Z₂, Z₈/⟨r⁴⟩ ≅ Z₄, Z₄×Z₂ entre ⟨(0,1)⟩ (Z₄) y entre ⟨(2,0)⟩ (Z₂×Z₂), Z₃×Z₃/⟨(1,1)⟩ ≅ Z₃, A₄/V₄ ≅ Z₃ y S₄/A₄ ≅ Z₂. En cada una, la tabla de G por las clases de N (un color por clase) se colapsa en la de G/N y se vuelve a expandir; al colapsar, al lado la tabla de Q con los mismos colores, y debajo el isomorfismo: qué clase va a qué elemento. Cierre del lab.
Tareas para el alumno
- Construir clase a clase un isomorfismo Z₁₂/⟨r³⟩ → Z₃, Z₄×Z₂/⟨(2,1)⟩ → Z₄, Δ₆/Z(Δ₆) → Δ₃ y S₄/V₄ → S₃ (vale cualquiera).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.