Primer lab de dos sobre teoría de grupos, para Bachillerato alto o primer curso. El segundo es «Clases laterales y cocientes».

Un grupo no empieza aquí con axiomas, sino con acciones que dejan un objeto en su sitio: el móvil que se vuelve a dejar en su hueco de cuatro maneras, el triángulo en su marco, el tetraedro que gira. Cada posición es a la vez una acción (la que lleva desde el inicio hasta ella), y encadenar acciones es multiplicar. Después el mismo grupo se dibuja de tres maneras (diagrama de Cayley, tabla de multiplicar coloreada y grafo de ciclos) y se aprende a reconocerlo aunque el dibujo cambie.

La convención es la de Carter: ab significa «primero a, luego b», que es seguir las flechas en el diagrama y leer una fórmula del cubo de Rubik de izquierda a derecha.

Qué se aprende

• Reconocer un grupo en las simetrías de un objeto y nombrar sus elementos con palabras en los generadores (r, f, r²f…).
• Las cuatro reglas de un grupo (acciones fijas, que se pueden deshacer, predecibles y que se encadenan) y su traducción a los axiomas de los libros.
• Construir e interpretar diagramas de Cayley: seguir palabras, ver que dos caminos al mismo nodo son una igualdad, cambiar de generadores y distinguir diagramas imposibles.
• Rellenar e interpretar la tabla de multiplicar: la propiedad sudoku, la identidad, los inversos, y la simetría respecto de la diagonal cuando el grupo es abeliano.
• Calcular el orden de un elemento y leerlo en el grafo de ciclos.
• Trabajar con permutaciones: notación de ciclos, composición, paridad, Sₙ y Aₙ.
• Decidir si dos grupos son isomorfos comparando sus invariantes (orden, abeliano, reparto de órdenes).
• Contar las rotaciones del tetraedro, el cubo y el icosaedro por tipos de eje y reconocer A₄, S₄ y A₅.
• Ver diagramas de Cayley en 3D como órbitas de un punto y leer en sus caras las relaciones entre generadores.
• Calcular el orden de fórmulas del cubo de Rubik 2×2×2.

Ideas matemáticas clave

• Una posición es una acción. Lo que importa de una acción es dónde deja el objeto, no cómo se ha movido por el camino.
• El orden importa, a veces. En el móvil hv = vh; en el cuadrado rf ≠ fr = r³f.
• Dos caminos, un mismo nodo, una ecuación. Las relaciones como r³ = e o fr = r²f se ven como caminos cerrados en el diagrama.
• Cada fila de la tabla tiene cada elemento una vez, porque toda acción se puede deshacer.
• Los invariantes deciden la isomorfía en los grupos pequeños. El móvil no es Z₄ (no tiene elementos de orden 4); Q₈ no es Δ₄ (1 frente a 5 elementos de orden 2).
• Los poliedros regulares esconden A₄, S₄ y A₅. Las 24 rotaciones del cubo recolocan sus 4 diagonales de las 24 maneras posibles.

Fuentes y créditos

Los diagramas, las cuatro reglas y la idea de «posición = acción» siguen Visual Group Theory de Nathan Carter (MAA, 2009). El enfoque por problemas y los grupos de rotaciones de los poliedros siguen El teorema de Abel en problemas y soluciones de V. B. Alekseev, basado en las lecciones de V. I. Arnold. No se usa código de Group Explorer.

Notas para el aula

• «El móvil en su funda» se puede hacer con el móvil de verdad antes de abrir el lab: ¿de cuántas maneras vuelve a su sitio sobre la mesa?
• «El cuadrado: r y f»: conviene detenerse en los retos de rf y fr; es la primera vez que el orden importa.
• Las salas 3D se ven bien proyectadas; la vista se gira arrastrando y los giros se hacen pulsando los extremos de los ejes.
• «El zoo de grupos» sirve también como consulta durante el lab II.