Objetivos didácticos
Un lab de 24 salas en el que el alumno aprende los operadores lógicos construyéndolos. Casi todas las salas usan el mismo tablero: interruptores, bombillas y puertas lógicas que se arrastran, se colocan sin solaparse y se conectan tocando dos extremos de piezas distintas (tocar otra vez desconecta). Cada operador se presenta por tres vías a la vez: el circuito (sin corriente vale 0, con corriente vale 1), las afirmaciones verdaderas o falsas (1 es la verdad y 0 la mentira) y, en la conjunción y la disyunción, los conjuntos. Se insiste en el nombre formal y en el símbolo de cada operador (∧, ∨, ¬, →, ↔, ⊕).
Hay pocas pantallas de explicación: el alumno prueba combinaciones hasta completar la tabla de verdad, monta circuitos que reproducen una tabla dada y responde retos de comprensión (elegir una opción, tocar casillas de una tabla de conjuntos, decidir si un razonamiento es válido). Los retos de construcción tienen una pista tras varios intentos fallidos y, más adelante, la solución montada. Se avanza dentro de una sala al resolver cada reto.
Qué se aprende
El lab lleva al alumno desde «0 es mentira y 1 es verdad» hasta construir con puertas un sumador de números binarios.
- Leer un circuito como una afirmación lógica y una tabla de verdad como una función de sus entradas (salas 1-3).
- Ver la conjunción como intersección y la disyunción como unión en una tabla de conjuntos (salas 4 y 6).
- Montar un circuito que reproduce una tabla dada, y descubrir con las leyes de De Morgan que AND, OR y NOT se pueden expresar unos con otros (salas 7-8).
- Entender que la implicación es falsa en un solo caso y que A → B equivale a que A sea un subconjunto de B (salas 9-10).
- Distinguir razonamientos válidos (modus ponens, modus tollens, transitividad, silogismo disyuntivo) de los que no (negar el antecedente o afirmar el consecuente) (salas 11-12).
- Comprobar si dos fórmulas son equivalentes y por qué la recíproca de una implicación no lo es; conocer la equivalencia y la exclusión (salas 13-15).
- Memorizar nombres y símbolos de los operadores, y pasar a tres variables (salas 16-17).
- Pasar de la lógica al cálculo: sistema binario, suma con llevada y semisumador como XOR y AND (salas 18-19).
- Reconocer que NAND y NOR son universales, construir NOT, AND, → y XOR solo con NAND, y conectarlo con los procesadores reales (salas 20-23).
- Aplicar todo en un taller libre: sumador completo, función mayoría, paridad y reproducción de una tabla de verdad (sala 24).
Ideas matemáticas clave
- Verdad y mentira como 0 y 1. Con dos valores se construye todo; una fórmula con n variables tiene una tabla de 2ⁿ filas (4 con dos, 8 con tres).
- Conjunción (∧) y disyunción (∨). A ∧ B solo vale 1 si valen 1 las dos; A ∨ B vale 0 solo si valen 0 las dos (inclusiva). En conjuntos, ∧ es la intersección y ∨ la unión.
- Negación (¬) y leyes de De Morgan. ¬(¬A ∨ ¬B) = A ∧ B; la negación convierte la O en Y y viceversa. Si «soy alto y soy español» es mentira, solo se sabe que no es alto o no es español.
- Implicación (→). A → B es falsa solo si A es verdadera y B falsa, y es igual a ¬A ∨ B. Una premisa falsa implica cualquier cosa. Como conjuntos, A → B significa A ⊆ B (todo cuadrado es rectángulo, no al revés).
- Razonamientos. Son válidos el modus ponens, el modus tollens, la transitividad y el silogismo disyuntivo. No lo son negar el antecedente («no tengo prisa, luego no corro») ni afirmar el consecuente («he aprobado, luego he estudiado»): confunden A → B con su recíproca B → A.
- Equivalencia (↔). A ↔ B vale 1 cuando A y B coinciden, y es (A → B) ∧ (B → A). A → B y su contrarrecíproca ¬B → ¬A son equivalentes; A → B y B → A no.
- Exclusión (⊕). A ⊕ B vale 1 cuando A y B son distintos; es el «o» del lenguaje cotidiano («postre o café»).
- Binario y suma. Las posiciones valen potencias de dos (1, 2, 4, 8…) y 1 + 1 = 10, con una llevada. En una suma de dos cifras, las unidades son un XOR y la llevada es un AND: eso es el semisumador.
- Universalidad de NAND y NOR. Con una sola de estas puertas se construye cualquier circuito: NOT = NAND(A, A), AND con dos NAND, → con dos y XOR con cuatro. Por eso los chips se fabrican con un solo tipo de puerta.
- Sumador completo. Suma A + B + llevada de entrada y da resultado y llevada de salida (dos XOR, dos AND y un OR). La llevada de salida es la función mayoría, y la paridad impar de tres entradas es un XOR de las tres.
Nivel: bachillerato y primeros cursos de universidad. Sirve de introducción a la lógica proposicional y a los circuitos digitales; no hace falta saber programar. En clase funciona bien proyectar la sala 3, donde se predice a mano la tabla de ¬(A ∧ B), la sala 8 con las leyes de De Morgan y la sala 13, que explica por qué «he aprobado, luego he estudiado» es una falacia. La sala 24 es la más larga y admite trabajo por parejas.
Contenidos por salas
Sala 1 · Aprendizaje: 0 y 1
Una pila, un interruptor y una bombilla en serie, con el interruptor encendido y la bombilla luciendo. Al apagar el interruptor, la bombilla se apaga y la sala explica la convención: sin corriente vale 0 (mentira), con corriente vale 1 (verdad). Con esos dos valores se construyen después todas las operaciones.
Tareas para el alumno
- Tocar el interruptor para apagarlo y ver qué le pasa a la bombilla.
- Responder: ¿qué representa el 0 en este sistema? (la mentira).
Sala 2 · Conjunción (Y)
La conjunción (∧) solo es verdadera si lo son las dos partes; se ilustra con «Madrid es la capital de España ∧ Vietnam está en América», que es falsa por la segunda. El circuito tiene dos interruptores, una puerta AND y una bombilla, todos apagados, y la tabla de verdad se completa fila a fila probando las cuatro combinaciones (un contador indica cuántas líneas faltan).
Tareas para el alumno
- Probar las 4 combinaciones de los interruptores hasta completar la tabla de verdad.
- Decidir si es verdadera «América está en Europa y Nueva York está en América».
- Sabiendo que A es verdadero y que A ∧ B = 1, decir cómo tiene que ser B (verdadero, forzosamente).
Sala 3 · Negación (NO)
La negación (¬) invierte el valor: donde no había corriente aparece y al revés. Hay dos interruptores, una puerta AND, una NOT y una bombilla, sin cables; se conecta tocando dos extremos de piezas distintas y tocarlos otra vez desconecta. Tras montar ¬(A ∧ B), el alumno rellena a mano la tabla de verdad, sin tocar los interruptores, y la sala la comprueba fila a fila con una animación de los cuatro estados. Es la sala donde se aprende la mecánica de montaje que se usa en el resto del lab.
Tareas para el alumno
- Montar el circuito ¬(A ∧ B) conectando A y B a la puerta AND y su salida a la NOT (si tarda, aparece primero una pista con A ∧ B ya montado y, más tarde, la solución).
- Predecir y rellenar la tabla de verdad de ¬(A ∧ B) y pulsar «Comprobar tabla».
Sala 4 · La Y como intersección
Los alumnos de un instituto estudian inglés, francés, las dos cosas o ninguna. Una tabla 2×2 («estudia / no estudia inglés» por «estudia / no estudia francés») hace que cada casilla sea un grupo distinto, y la Y es la intersección de dos condiciones. Cada casilla acertada revela su expresión en símbolos (por ejemplo, ¬Inglés ∧ Francés).
Tareas para el alumno
- Tocar la casilla de quienes estudian inglés y francés.
- Tocar la casilla de quienes estudian francés pero no inglés.
- Tocar la casilla de quienes no estudian ni inglés ni francés.
Sala 5 · Disyunción (O)
La disyunción (∨) es verdadera si lo es al menos una de las partes: «Madrid es la capital de España ∨ Vietnam está en América» es verdad aunque la segunda sea falsa. El circuito con una puerta OR sigue el mismo patrón que la sala 2: cuatro combinaciones para completar la tabla, y un reto de deducción simétrico al de la conjunción.
Tareas para el alumno
- Probar las 4 combinaciones y completar la tabla de verdad del OR.
- Sabiendo que A es falso y que A ∨ B = 1, decir cómo tiene que ser B (verdadero).
Sala 6 · La O como unión
Se vuelve a la tabla de inglés y francés: «estudia inglés ∨ francés» reúne a quienes estudian al menos una de las dos, es decir, tres de las cuatro casillas (todas menos la de ninguna). La O es la unión, igual que la Y era la intersección.
Tareas para el alumno
- Tocar las 3 casillas que forman «estudia inglés ∨ francés» y pulsar «Comprobar».
Sala 7 · Un NOT, un OR
Primer reto de construcción libre: con dos interruptores, una puerta NOT y una puerta OR (cada pieza una sola vez), el alumno debe conseguir que la bombilla siga una tabla de verdad dada (1, 0, 1, 1, que corresponde a A ∨ ¬B). Si se atasca, aparece una pista («el OR da 0 solo si sus dos entradas valen 0») y, más tarde, la solución.
Tareas para el alumno
- Montar el circuito de la tabla dada con un NOT y un OR, negando B y llevándolo a una entrada del OR junto con A.
Sala 8 · Tres NOT, un OR
Con dos interruptores, tres puertas NOT y una puerta OR hay que reproducir la puerta AND. La solución, ¬(¬A ∨ ¬B), se presenta como una ley de De Morgan: la negación convierte la O en Y y viceversa. Después, un reto en lenguaje natural aplica la misma ley: si Juan ha mentido al decir «soy alto y soy español», solo es seguro que no es alto o no es español, sin saber cuál de las dos falla.
Tareas para el alumno
- Montar un circuito con 3 NOT y 1 OR que se comporte como un AND.
- Elegir, entre cuatro afirmaciones sobre Juan, la que es cierta con seguridad (Juan no es alto o Juan no es español).
Sala 9 · Implicación
La implicación (→, «si A entonces B») promete una consecuencia a partir de una condición. El alumno completa su tabla probando un circuito con una puerta → y descubre que es falsa en un solo caso (A verdadero y B falso), de modo que una premisa falsa no la hace falsa. Después tiene que construir A → B con solo un NOT y un OR.
Tareas para el alumno
- Probar las 4 combinaciones y completar la tabla de verdad de A → B.
- Construir A → B con un NOT y un OR (¬A ∨ B).
Sala 10 · La implicación como subconjunto
Si A → B es una ley, todo lo que cumple A cumple también B: el conjunto de los A está contenido en el de los B (A ⊆ B). Se ilustra con «cuadrado implica rectángulo»: los cuadrados son un subconjunto de los rectángulos y no al revés. La sala previene así el error de leer la inclusión en sentido contrario.
Tareas para el alumno
- Sabiendo que «ser múltiplo de 6» implica «ser múltiplo de 3», elegir la inclusión de conjuntos correcta ({múltiplos de 6} ⊆ {múltiplos de 3}).
Sala 11 · Silogismos I
Un silogismo son dos premisas y una conclusión. Tres razonamientos, uno por reto, para decidir si la conclusión se sigue de verdad: uno inválido (negar la premisa de una implicación), un modus ponens y un modus tollens. Tras responder, cada reto explica el porqué.
Tareas para el alumno
- Decidir si es válido «cuando tengo prisa corro; hoy no tengo prisa; luego hoy no voy a correr» (no lo es).
- Decidir si es válido «si llueve, el suelo se moja; está lloviendo; luego el suelo está mojado» (sí: modus ponens).
- Decidir si es válido «si un número es múltiplo de 4, es par; este no es par; luego no es múltiplo de 4» (sí: modus tollens).
Sala 12 · Silogismos II
Otros tres razonamientos con el mismo formato: un error de afirmar el consecuente, la transitividad de la implicación (y de la inclusión de conjuntos) y el silogismo disyuntivo, que vale con una O no excluyente.
Tareas para el alumno
- Decidir si es válido «si estudias, apruebas; has aprobado; luego has estudiado» (no lo es).
- Decidir si es válido «si como mucho engordo; si engordo me canso más al correr; luego si como mucho me canso más» (sí: transitividad).
- Decidir si es válido «iré a la fiesta el sábado o el domingo; no fui el sábado; luego fui el domingo» (sí: silogismo disyuntivo).
Sala 13 · Fórmulas equivalentes
Dos fórmulas son equivalentes si dan el mismo resultado para todas las combinaciones de valores. Hay dos circuitos con su propia bombilla y el alumno prueba las cuatro combinaciones de A y B en cada uno, comparando si las bombillas se encienden siempre juntas. Primero A → B frente a su contrarrecíproca ¬B → ¬A (equivalentes) y luego frente a su recíproca B → A (no lo son, lo que explica la falacia de la sala 12).
Tareas para el alumno
- Probar las 4 combinaciones y decidir si A → B y ¬B → ¬A son equivalentes (sí).
- Hacer lo mismo con A → B y B → A (no son equivalentes).
Sala 14 · Equivalencia (↔)
La equivalencia (↔) es verdadera exactamente cuando A y B valen lo mismo, lo que formaliza la comparación a mano de la sala anterior. El alumno completa su tabla con un circuito de una puerta ↔ y elige entre tres fórmulas la que la define; las respuestas erróneas explican con un caso concreto por qué fallan.
Tareas para el alumno
- Probar las 4 combinaciones y completar la tabla de verdad de A ↔ B.
- Elegir la fórmula que define A ↔ B: (A → B) ∧ (B → A).
Sala 15 · Exclusión (XOR)
El XOR (⊕) es verdadero cuando A y B son distintos, que es el sentido habitual de «o» en el lenguaje cotidiano («el menú trae postre o café»). El circuito ya viene montado con una puerta XOR, y el alumno completa su tabla y razona con un caso de deducción.
Tareas para el alumno
- Probar las 4 combinaciones y completar la tabla de verdad del XOR.
- Sabiendo que A es verdadero y que A ⊕ B = 0, decir cómo tiene que ser B (verdadero).
Sala 16 · Test rápido: nombre y símbolo
Un test cronometrado para repasar los seis operadores: se da el nombre de cada uno y hay que elegir su símbolo entre cuatro. Las respuestas acertadas suman puntos y el tiempo por pregunta se ajusta según se acierte o se falle; si no se supera, se repite.
Tareas para el alumno
- Elegir el símbolo de la conjunción, la disyunción, la negación, la implicación, la equivalencia y la exclusión (∧, ∨, ¬, →, ↔, ⊕) en las rondas cronometradas.
Sala 17 · Tres variables
Con tres interruptores la tabla de verdad tiene 8 filas en vez de 4. Se parte de un circuito ya montado, A ∧ (B ∨ ¬C), para ver cómo se completa su tabla al mover los interruptores. Después hay dos retos de construcción; el segundo es casi un espejo del primero, y solo cambia si A va negada.
Tareas para el alumno
- Mover los 3 interruptores y completar la tabla de 8 filas de A ∧ (B ∨ ¬C).
- Montar ¬A ∨ (B ∧ C).
- Montar un circuito con la tabla 00011111 (A, B, C de 000 a 111), que es A ∨ (B ∧ C).
Sala 18 · El sistema binario
Los ordenadores cuentan con 0 y 1, así que en vez de unidades, decenas y centenas usan unidades, «dosenas», «cuatrenas» y «ochenas» (potencias de dos). Se muestran los diez primeros naturales en binario y se explica la suma con llevada, con un ejemplo resuelto (101 + 011 = 1000).
Tareas para el alumno
- Pasar 1100 de binario a decimal (12).
- Sumar 1111 + 1010 en binario (11001); si falla, se muestra la suma en columna con las llevadas marcadas.
Sala 19 · El semisumador
Un circuito que suma dos cifras binarias necesita dos bombillas, porque 1 + 1 = 10: una para las unidades y otra para las «dosenas» (la llevada). El alumno identifica qué función corresponde a cada bombilla a partir de la suma, y las respuestas erróneas se refutan con una fila concreta de la tabla. Después monta el circuito con los interruptores y las dos puertas.
Tareas para el alumno
- Elegir la función de la cifra de las unidades (XOR).
- Elegir la función de la llevada, que solo vale 1 cuando se suma 1 + 1 (AND).
- Montar el semisumador: los interruptores a una puerta XOR y a una AND, cada una a su bombilla.
Sala 20 · NAND y NOR
NAND es «no (A y B)» y NOR es «no (A o B)». Cada una, por sí sola, es universal: con solo puertas NAND (o solo NOR) se puede construir cualquier circuito. Un circuito de demostración tiene un NOR con sus dos entradas conectadas al mismo interruptor, y se ve que invierte la señal, es decir, que es un NOT.
Tareas para el alumno
- Mover el interruptor del NOR con las dos entradas unidas y ver que invierte la señal.
- Responder si se podría construir cualquier circuito lógico usando solo puertas NOR (sí).
Sala 21 · Puertas lógicas en los procesadores reales
Una sala breve de reflexión: la ALU de un procesador está formada por millones de puertas construidas a nivel de transistor, y casi siempre son del mismo tipo (NAND o NOR), aprovechando la universalidad que se acaba de ver.
Tareas para el alumno
- Elegir por qué a un fabricante de chips le conviene fabricar un solo tipo de puerta: porque fabricar y probar en masa una sola pieza es más barato y simple.
Sala 22 · Construir con NAND (I)
Primeras construcciones que comprueban la universalidad del NAND: el NOT con una sola puerta (uniendo A a las dos entradas) y el AND con exactamente dos puertas, donde la segunda solo necesita la salida de la primera conectada a sus dos entradas.
Tareas para el alumno
- Montar ¬A con una sola puerta NAND.
- Montar A ∧ B con exactamente 2 puertas NAND.
Sala 23 · Construir con NAND (II)
Dos construcciones más largas solo con NAND: la implicación, con dos puertas (la primera da ¬B y la segunda la combina con A), y el XOR, con cuatro puertas, que es la construcción más larga del lab.
Tareas para el alumno
- Montar A → B con exactamente 2 puertas NAND.
- Montar A ⊕ B con exactamente 4 puertas NAND.
Sala 24 · Taller libre
Sala de cierre con piezas sueltas (interruptores, bombillas y varios tipos de puerta) para colocar y conectar libremente. Cada reto lleva antes una explicación con un ejemplo resuelto: el sumador completo (el semisumador de la sala 19 más una llevada de entrada), la función mayoría, la paridad impar y la reproducción de una tabla de verdad dada. Al terminar los cuatro, el alumno puede seguir jugando con las piezas.
Tareas para el alumno
- Montar un sumador completo con 3 entradas (A, B, llevada de entrada) y 2 salidas (resultado y llevada de salida).
- Montar la función mayoría de 3 entradas, que se enciende si al menos 2 lo están (es la misma señal que la llevada de salida del sumador).
- Montar un circuito que se encienda solo cuando el número de interruptores encendidos, de 3, sea impar.
- Montar un circuito con la tabla 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1 (A, B, C de 000 a 111) con las piezas que elija el alumno.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.