Objetivos didácticos
Un poliminó es una figura que se forma pegando cuadrados iguales por un lado completo. El lab sigue la serie por tamaños: dominós (2 cuadrados), triminós (3), tetraminós (4) y pentaminós (5), a lo largo de 23 salas. El alumno arrastra piezas sobre un tablero (puede girarlas y voltearlas), pinta casillas para descubrir formas y contesta preguntas de opción múltiple o escribe números. No hay apuestas ni series simuladas: todo se resuelve manipulando las piezas.
Las salas se agrupan en cuatro bloques: dominós (salas 1-7), triminós (8-11), tetraminós (12-16) y pentaminós (17-23). En los bloques de triminós, tetraminós y pentaminós la primera sala es de descubrimiento («pinta una forma y comprueba») y no dice cuántas formas hay: solo después de encontrarlas todas pregunta si el alumno cree que hay más. Después vienen retos de cubrir figuras con un conjunto exacto de piezas. Las dos últimas salas son un cierre colaborativo: el alumno diseña un reto y resuelve el de un compañero.
Qué se aprende
El lab lleva al alumno de cubrir figuras por ensayo y error a justificar, con argumentos de paridad y de coloración, por qué algunas no se pueden cubrir.
- Saber qué es un poliminó: las piezas se tocan por un lado completo, no por una esquina ni por la mitad de un lado (sala 1).
- Descartar con la paridad: una figura con número impar de casillas no se cubre con dominós (sala 2).
- Usar la coloración de ajedrez: un dominó cubre siempre una casilla blanca y una negra, así que un tablero con distinto número de blancas y negras no se puede cubrir (salas 3 y 4), y el máximo de dominós que caben lo marca el color menos numeroso (sala 7).
- Contar todas las maneras de cubrir un rectángulo y reconocer el patrón de Fibonacci: 3, 5, 8 y, por predicción, 13 (sala 5).
- Construir una figura con una condición (conexa y con como mucho 2 dominós a la vez) y buscar el máximo, que son 9 casillas (sala 6).
- Descubrir sistemáticamente todas las piezas de cada tamaño (2 triminós, 5 tetraminós, 12 pentaminós) y entender que giros y reflejos cuentan como la misma pieza (salas 8, 12 y 17).
- Clasificar figuras según con qué triminós se pueden cubrir (rectos, en L, mezclando o ninguno) sin fiarse del aspecto (sala 9).
- Dividir en partes iguales a escala mayor (la L grande en cuatro L) y usar esa idea para cubrir un tablero de 4 × 4 al que falta una casilla (salas 10 y 11).
- Aplicar la coloración a los tetraminós para ver por qué cinco piezas con el área justa no cubren un rectángulo de 4 × 5 (sala 13).
- Resolver retos de montaje con piezas dadas y proponer uno propio con una solución (casi) única (salas 14-16 y 18-23).
Ideas matemáticas clave
- Poliminó: cuadrados unidos por lados completos. Dos figuras son la misma pieza si una se obtiene de la otra girando o reflejando.
- Paridad: cada dominó cubre 2 casillas, así que una figura de área impar no se puede cubrir. Pero el área par no basta.
- Coloración de ajedrez: dos casillas vecinas siempre tienen colores distintos, así que cada dominó cubre una de cada color. El tablero de 6 × 6 sin dos esquinas opuestas tiene 34 casillas, 18 de un color y 16 del otro, y no se puede cubrir con 17 dominós; a lo sumo caben 16. La estrella de la sala 7 (25 casillas) tiene 9 casillas de un color y 16 del otro, y el máximo son 9 dominós.
- Fibonacci: los rectángulos de 2 × n se cubren con dominós de 2, 3, 5, 8… maneras (con 2 × 2, 2 × 3, 2 × 4, 2 × 5), cada número es la suma de los dos anteriores. Con 3, 5 y 8 en la tabla, el siguiente es 5 + 8 = 13.
- Triminós: hay 2 (recto y en L). Una figura puede cubrirse solo con rectos, solo con L, mezclando o de ninguna manera, y hay que comprobarlo pieza a pieza.
- Rep-tile: una L ampliada al doble en cada lado se divide en 4 copias de la original. Aplicado una y otra vez, permite cubrir con L cualquier tablero 2n × 2n al que falte una casilla (en la sala 11, el de 4 × 4).
- Tetraminós: hay 5 (I, O, T, S, L). Las piezas I, O, S y L cubren siempre 2 casillas de cada color; la T cubre 3 de un color y 1 del otro. El rectángulo de 4 × 5 tiene 10 y 10, y esa descompensación no se puede corregir: las cinco piezas no lo cubren.
- Pentaminós: hay 12 (F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y, Z). En la sala 18 la simetría de una figura no decide si se puede partir en dos pentaminós distintos: tres figuras simétricas no se pueden y la última, también simétrica, sí.
Nivel: primaria (el lab no está ligado a un curso del currículo). Se puede hacer sin teoría previa; las salas de coloración (3, 4, 7 y 13) son las que más piden razonar y suelen dar pie a conversación. En el último bloque, el profesor reparte los retos diseñados por la clase cuando hay al menos dos envíos válidos; un alumno que está solo recibe un reto fijo en lugar de esperar.
Contenidos por salas
Sala 1 · ¿Qué es un poliminó?
Un poliminó se forma juntando cuadrados iguales por un lado completo. La sala muestra tres ejemplos: dos cuadrados unidos por un lado vale; unidos solo por una esquina, no; y desencajados medio lado, tampoco. Luego presenta cuatro parejas de cuadrados y el alumno marca las que sí son un dominó (el poliminó más pequeño). Al acertar, practica la regla cubriendo con dominós un rectángulo de 3 × 2 arrastrando las piezas.
Tareas para el alumno
- Marcar las parejas de cuadrados que forman un dominó (las que comparten un lado completo).
- Cubrir con dominós una figura de 3 × 2.
Sala 2 · ¿Se puede cubrir con dominós?
Cuatro figuras: dos con 5 casillas, otra de 2 × 3 y otra de 8 casillas. El alumno marca las que se pueden cubrir exactamente con dominós, sin saber cuántas casillas tiene cada una; el recuento solo aparece tras un fallo. Un dominó cubre siempre 2 casillas, así que una figura con número impar de casillas no se cubre. Con las dos de área par puede comprobarlo construyéndolas.
Tareas para el alumno
- Marcar las figuras que se pueden cubrir con dominós.
- Probar a construir la cobertura de las figuras elegidas.
Sala 3 · El truco de la coloración
Un tablero de 3 × 4 pintado como un tablero de ajedrez, con los dominós semitransparentes para ver los colores que hay debajo. El alumno coloca 6 dominós hasta cubrir el tablero entero y se fija en qué colores tapa cada uno. Después contesta qué casillas cubre un dominó. Cada dominó ocupa dos casillas vecinas y las vecinas del ajedrez tienen colores distintos, así que, en horizontal o en vertical, cubre siempre una blanca y una negra.
Tareas para el alumno
- Cubrir el tablero de 3 × 4 con 6 dominós.
- Elegir cuántas casillas blancas y negras cubre cada dominó (1 blanca y 1 negra, siempre).
Sala 4 · El tablero mutilado
Un tablero de 6 × 6 con dos esquinas opuestas cortadas: quedan 34 casillas, un número par, y parece que 17 dominós lo cubrirían. Primero el alumno cuenta las casillas de cada color. Salen 18 de un color y 16 del otro, porque las dos esquinas cortadas son del mismo color. Con esa cuenta decide si 17 dominós lo cubren (no). Después, en el mismo tablero, escribe cuántos dominós caben como máximo (16, el número de casillas del color menos numeroso).
Tareas para el alumno
- Contar las casillas blancas y negras del tablero (18 y 16).
- Decidir si se puede cubrir con 17 dominós (no).
- Escribir el máximo de dominós que caben (16).
Sala 5 · ¿De cuántas formas?
Un mismo rectángulo se puede cubrir con dominós de varias maneras. El alumno busca todas las formas de cubrir un tablero de 3 × 2 (3) y otro de 4 × 2 (5), con un contador de las encontradas y un aviso si repite una. Para 5 × 2 no tiene que buscarlas: se muestran todas de golpe (8). Después ve una tabla de anchos y maneras: cada número es la suma de los dos anteriores, la sucesión de Fibonacci. Como cierre, predice cuántas formas hay en un tablero de 6 × 2.
Tareas para el alumno
- Encontrar las 3 formas de cubrir un tablero de 3 × 2.
- Encontrar las 5 formas de cubrir un tablero de 4 × 2.
- Mirar el recuento de las 8 formas del tablero de 5 × 2.
- Predecir cuántas formas hay en un tablero de 6 × 2 (13).
Sala 6 · Construye para resistir
El alumno marca casillas en una cuadrícula para construir una figura que se pueda recorrer entera yendo de casilla en casilla en horizontal o en vertical, y en la que, por mucho que pruebe, nunca quepan más de 2 dominós a la vez. Se muestra un ejemplo de 3 casillas en el que solo cabe 1 dominó. La sala avisa si una casilla desconecta la figura, si la parte en trozos o si con ella cabrían ya 3 dominós, y lleva la cuenta de las casillas marcadas. Con 5 casillas es fácil, porque 3 dominós necesitan 6; el reto es llegar a 6 o más. El máximo es 9.
Tareas para el alumno
- Marcar una figura conexa en la que no quepan 3 dominós.
- Llegar al menos a 6 casillas.
- Intentar el máximo, 9 casillas.
Sala 7 · El reto de la estrella
Una figura en forma de estrella de 25 casillas que no se puede cubrir entera con dominós. El alumno coloca el mayor número de dominós que consigue, sin solaparlos, y pulsa Comprobar. Si no es el máximo, lo avisa y hay que seguir probando. Al dar con él (9), la sala explica por qué es el máximo: pinta la estrella como un tablero de ajedrez y el alumno cuenta las casillas negras y blancas (9 y 16). Como un dominó cubre una de cada color, no puede haber más dominós que casillas negras.
Tareas para el alumno
- Colocar el mayor número posible de dominós sobre la estrella (9).
- Contar las casillas negras y blancas de la estrella (9 y 16).
Sala 8 · Los triminós
Un triminó tiene 3 casillas. En una rejilla de 3 × 3, el alumno pinta una forma y pulsa «Comprobar forma». Una forma nueva se guarda como miniatura y repetir una ya encontrada se avisa. La sala no dice cuántas hay: tras encontrar las dos (la recta y la L) pregunta si cree que hay más. Si prueba otra, se le explica que girar o reflejar una forma no la convierte en otra.
Tareas para el alumno
- Pintar y comprobar formas de 3 casillas conectadas.
- Encontrar las dos formas de triminó (recta y en L).
- Responder si cree que hay más y, si lo intenta, ver por qué giros y reflejos cuentan como la misma pieza.
Sala 9 · Clasifica la figura
Cinco figuras, una detrás de otra. En cada una, el alumno decide cómo se puede cubrir con triminós: solo con rectos, solo con L, mezclando o de ninguna manera. No siempre es evidente: una figura de 6 casillas tiene tres seguidas pero solo se cubre con dos L; otra de 6 casillas no se puede cubrir de ninguna manera; una de 9 necesita una recta y una L; otra de 9 parece mezclable, pero solo se cubre con L; y una en forma de T se cubre con dos rectas. Cada opción equivocada trae el motivo por el que falla.
Tareas para el alumno
- Clasificar la figura 1 (solo con L).
- Clasificar la figura 2 (no se puede cubrir).
- Clasificar la figura 3 (mezclando rectas y L).
- Clasificar la figura 4 (solo con L).
- Clasificar la figura 5, en forma de T (solo con rectas).
Sala 10 · La L grande
Una L grande que mide el doble, en cada lado, que un triminó en L. El alumno la divide en 4 triminós en L iguales arrastrando las piezas. Al terminar, la sala dice que una L ampliada al doble siempre se puede dividir en 4 copias del original y que por eso se llama rep-tile.
Tareas para el alumno
- Colocar los 4 triminós en L para cubrir la L grande.
Sala 11 · El tablero con un hueco
Un tablero de 4 × 4 al que le falta una casilla. El alumno lo cubre entero con 5 triminós en L, sin que sobre ni falte ninguna casilla. Es la misma idea de la sala anterior aplicada dos veces: se reparte en cuadrantes más pequeños. Al terminar se comenta que el truco sirve para cualquier tablero 2^n × 2^n al que le falte una casilla, esté donde esté.
Tareas para el alumno
- Cubrir con 5 triminós en L el tablero de 4 × 4 con una casilla quitada.
Sala 12 · Los tetraminós
Un tetraminó tiene 4 casillas. Igual que en la sala 8, el alumno pinta formas en una rejilla de 4 × 4, las comprueba y se guardan como miniaturas. No se dice cuántos hay. Las formas repetidas, o giradas o reflejadas, se avisan. Al encontrar los 5 se muestran sus nombres: I, O, T, S y L; si el alumno cree que hay más, se explica que giros y reflejos no cuentan como nuevas.
Tareas para el alumno
- Pintar y comprobar formas de 4 casillas conectadas.
- Encontrar los 5 tetraminós (I, O, T, S y L).
- Responder si cree que hay más.
Sala 13 · Rectángulo 4×5
Los 5 tetraminós suman 20 casillas, justo las de un rectángulo de 4 × 5. El alumno intenta encajarlos sin que nadie le diga que no es posible. Tras 15 acciones (colocar o quitar pieza) se muestra el tablero pintado como un ajedrez, con el recuento de casillas blancas y negras (10 y 10). Después se pregunta cuál de las cinco piezas se comporta distinto con la coloración: la T cubre 3 casillas de un color y 1 del otro, y las demás cubren 2 y 2. Esa descompensación no se puede arreglar con el resto, y por eso no hay solución.
Tareas para el alumno
- Intentar encajar las 5 piezas en el rectángulo de 4 × 5.
- Mirar el recuento de casillas blancas y negras del rectángulo (10 y 10) y elegir qué tetraminó reparte el color de forma distinta (la T).
Sala 14 · Reto con tetraminós (I)
Un tablero de 8 casillas que se cubre exactamente con las piezas indicadas, una I y una L. Cada reto de montaje de este bloque se construyó colocando piezas reales, así que tiene solución. Un contador muestra las piezas colocadas y, al terminar, aparece un mensaje y el botón para seguir.
Tareas para el alumno
- Cubrir la figura de 8 casillas con una I y una L.
Sala 15 · Reto con tetraminós (II)
Una figura algo mayor, de 12 casillas, que se cubre con una O, una T y una S. Se coloca con el mismo motor: se arrastran, giran y voltean las piezas hasta encajarlas.
Tareas para el alumno
- Cubrir la figura de 12 casillas con una O, una T y una S.
Sala 16 · Reto con tetraminós (III)
El más difícil del bloque: una figura de 16 casillas, alargada, que se cubre con cuatro piezas, L, T, S e I.
Tareas para el alumno
- Cubrir la figura de 16 casillas con una L, una T, una S y una I.
Sala 17 · Los pentaminós
Un pentaminó tiene 5 casillas. Mismo mecanismo que las salas 8 y 12, con una rejilla de 5 × 5 y miniaturas de las formas encontradas, sin decir cuántas hay. Al encontrar las 12 se muestran sus nombres: F, I, L, N, P, T, U, V, W, X, Y y Z, cada uno por la letra que recuerda. Si el alumno cree que hay más, se explica que girar o reflejar no crea una forma nueva.
Tareas para el alumno
- Pintar y comprobar formas de 5 casillas conectadas.
- Encontrar los 12 pentaminós.
- Responder si cree que hay más.
Sala 18 · Parejas de pentaminós
Siete figuras de 10 casillas, una detrás de otra. En cada una, el alumno decide si se puede montar con dos pentaminós distintos: pinta 5 casillas para proponer una mitad (la otra son las casillas sin pintar) o pulsa «Es imposible». La sala dice si la división forma dos pentaminós válidos y distintos, o si son iguales, y al final de cada figura muestra la solución. Las figuras 2, 4 y 6, simétricas, no se pueden dividir en dos distintos. En la figura 7, también simétrica, sí se puede: la simetría sola no decide.
Tareas para el alumno
- Dividir las figuras que sí se pueden (1, 3, 5 y 7) en dos pentaminós distintos pintando 5 casillas.
- Pulsar «Es imposible» en las figuras que no se pueden (2, 4 y 6).
- Decir, en la figura 7, si cree que también será imposible por ser simétrica (se puede).
Sala 19 · Reto con pentaminós (I)
Una figura de 10 casillas que se cubre con dos pentaminós, una P y una L. Las piezas se arrastran, giran y voltean sobre el tablero.
Tareas para el alumno
- Cubrir la figura de 10 casillas con una P y una L.
Sala 20 · Reto con pentaminós (II)
Una figura algo mayor, de 15 casillas, que se cubre con tres pentaminós: T, U y N.
Tareas para el alumno
- Cubrir la figura de 15 casillas con una T, una U y una N.
Sala 21 · Reto de silueta
Una silueta con más piezas en juego: cinco pentaminós, V, W, X, Y y Z. Sirve de calentamiento antes de que el alumno invente la suya.
Tareas para el alumno
- Cubrir la silueta con una V, una W, una X, una Y y una Z.
Sala 22 · Diseña tu reto
El alumno elige 5 pentaminós distintos entre los 12 y los encaja entre sí, por los lados y sin huecos, en una zona libre de 11 × 11 para crear su propia silueta. Al enviarla, se valida: la silueta debe ser conexa, no puede ser un rectángulo perfecto (demasiado fácil) ni poder resolverse de más de 3 maneras distintas con esas piezas. Si no cumple, dice por qué y puede cambiarla; si la acepta, el profesor podrá repartirla entre los compañeros.
Tareas para el alumno
- Elegir 5 pentaminós distintos y unirlos en una silueta sin huecos.
- Enviar el reto y, si se rechaza, retocarlo según el motivo.
Sala 23 · El reto de un compañero
El alumno resuelve la silueta diseñada por un compañero, con las mismas 5 piezas que usó, y ve el nombre de quien la creó. Hasta que no llega, aparece un mensaje de espera. El profesor reparte los retos cuando hay al menos dos envíos válidos, de modo que cada alumno recibe uno que no es suyo. Si el alumno está solo en el lab, recibe un reto fijo en lugar de esperar.
Tareas para el alumno
- Esperar a que el profesor reparta los retos de la clase.
- Cubrir la silueta del compañero con sus 5 pentaminós.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.