Objetivos didácticos
De contar factores a graficar curvas. El lab, de 23 salas, empieza con las propiedades de las potencias, sigue con la función exponencial y termina con el logaritmo como su pregunta inversa. Se reparte en tres bloques: potencias (salas 1-11), función exponencial (12-16) y logaritmo (17-23).
Las propiedades no se presentan como reglas: se descubren escribiendo la potencia como producto literal de factores. En el cociente se tachan parejas de factores iguales y en la potencia de una potencia se cuentan grupos. Hay varios tipos de sala: retos de escribir un número, preguntas de opción múltiple, tests de velocidad con cola de preguntas, deslizadores que mueven la base o el exponente sobre una gráfica y tutoriales en los que el alumno calcula los puntos de una curva y los marca en la gráfica. En las gráficas, la exponencial es naranja y el logaritmo verde azulado; las asíntotas van en rojo discontinuo y la recta y = x en gris.
Qué se aprende
El lab lleva al alumno de multiplicar factores a entender la exponencial y el logaritmo como funciones inversas, con la gráfica como apoyo.
- Percibir el crecimiento exponencial con la leyenda del tablero de ajedrez y los granos de arroz: 263 ≈ 9,22 × 1018 (sala 1).
- Deducir las tres propiedades (producto, cociente y potencia de potencia) contando factores y grupos, y encadenarlas para dejar una sola potencia (salas 2 y 3).
- Saber cuándo se pueden combinar dos potencias (base común o exponente común) y que las sumas y restas nunca se simplifican con esas reglas (salas 4 y 5).
- Entender por qué a0 = 1 y qué significa un exponente negativo (sala 6).
- Pasar de exponentes fraccionarios a raíces y calcularlos, con y sin signo negativo (salas 7-10).
- Descomponer bases compuestas en factores primos para poder compararlas (sala 11).
- Describir la gráfica de y = ax según la base: pasa por (0, 1), es siempre positiva y crece si a > 1 o decrece si 0 < a < 1 (salas 12 y 13).
- Ver que la exponencial acaba superando a cualquier potencia de x y relacionarlo con el coste de un cálculo por fuerza bruta (sala 14).
- Dibujar a mano una exponencial (asíntota, punto fijo y dos o tres puntos) y hacerlo después sin lista de pasos (salas 15 y 16).
- Entender el logaritmo como el exponente que falta, y como inversa de la exponencial, con las gráficas simétricas respecto a y = x (salas 17-19).
- Conocer las propiedades del logaritmo y su límite: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, pero el de una suma no se separa (sala 20).
- Dibujar un logaritmo y reconocer los cuatro tipos de gráfica (exponencial y logaritmo, crecientes y decrecientes) (salas 21-23).
Ideas matemáticas clave
- Producto, cociente y potencia de potencia: am · an = am+n (se juntan los factores); am / an = am−n (se tachan n parejas); (am)n = am·n (n grupos de m factores).
- Base común o exponente común: con la misma base se suman o restan exponentes; con el mismo exponente se multiplican o dividen las bases, como en 34 · 54 = (3 · 5)4. Si no hay nada en común no se puede combinar, y una suma o resta como 34 + 32 no se simplifica con estas reglas.
- Exponente cero y negativo: bajar un escalón en la escalera 23, 22, 21… divide entre 2. Así 20 = 1, 2−1 = 1/2 y a−n = 1/an. El a0 = 1 no es un convenio: es an / an.
- Exponente fraccionario: a1/2 = √a y am/n es la raíz n-ésima de am. Por ejemplo, 84/3 = (∛8)4 = 16 y 43/2 = 8; con signo negativo se invierte: 9−1/2 = 1/3.
- Factorizar bases: 610 / (45 · 273) = (210 · 310) / (210 · 39) = 3.
- La exponencial y = ax: siempre positiva, pasa por (0, 1) y tiene la asíntota y = 0. Es creciente para a > 1 y decreciente para 0 < a < 1. Para graficarla: asíntota, punto fijo (0, 1), f(1) = a, f(−1) = 1/a y un punto más.
- La exponencial gana: x10 < 2x se cumple para siempre a partir de x ≈ 58,77 (el primer entero es 59). Con n = 50, n2 son 2500 operaciones y 250 más de mil billones.
- El logaritmo: loga b = c significa ac = b. Existe solo para b > 0, tiene la asíntota x = 0 y pasa por (1, 0). Para graficarlo: asíntota, (1, 0), (a, 1), (1/a, −1) y un punto más. Es la inversa de la exponencial: 2log2 x = x y log2 2x = x.
- Propiedades del logaritmo: log(x · y) = log x + log y, log(x / y) = log x − log y, log(xn) = n · log x. En cambio, log(x + y) no es log x + log y: log 2 ≈ 0,301 y log 1 + log 1 = 0.
Nivel: secundaria (ESO), con carácter curricular. El lab es largo y se puede dividir por bloques: potencias (1-11), exponencial (12-16) y logaritmo (17-23). En clase funcionan bien las salas 1 (se predice antes de contar), 14 (el reto de encontrar desde qué x gana la exponencial) y 18 (las dos máquinas inversas y el espejo y = x).
Contenidos por salas
Sala 1 · El tablero de arroz
La leyenda del inventor del ajedrez, que pidió un grano de arroz por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera, y así duplicando hasta la casilla 64. Antes de ver nada, el alumno predice cuánto arroz tocaba por la última casilla eligiendo entre cuatro opciones, desde un puñado hasta más que todo el arroz cultivado en la historia. Después recorre el tablero casilla a casilla con un botón «Siguiente casilla», con el número de granos duplicándose y un montón de puntos que se llena. La casilla n lleva 2^(n−1) granos, y la última, 2^63 ≈ 9,22 × 10^18. Para cerrar, escribe en forma de potencia los granos de dos casillas.
Tareas para el alumno
- Predecir cuánto arroz tocaba por la casilla 64.
- Avanzar por el tablero duplicando los granos casilla a casilla hasta la 64.
- Escribir el exponente de los granos de la casilla 10 (9).
- Escribir el exponente de los granos de la casilla 20 (19).
Sala 2 · Las propiedades, tachando factores
Las propiedades de las potencias se descubren escribiendo cada potencia como un producto de factores. En el producto de potencias de igual base se juntan todos los factores. En el cociente 3^5 / 3^3, el alumno tacha parejas de factores iguales y cuenta los que quedan; luego lo repite con 5^7 / 5^4. En la potencia de una potencia, (2^2)^3 se cuenta como 3 grupos de 2 factores, con un botón para contar cada grupo; luego lo repite con (4^2)^4. Cada ejemplo usa una base distinta y al pasar al siguiente se oculta el anterior. Termina con tres preguntas que piden la regla general: a^m · a^n, a^m / a^n y (a^m)^n.
Tareas para el alumno
- Tachar las parejas de factores en 3^5 / 3^3 y en 5^7 / 5^4.
- Contar los grupos de factores en (2^2)^3 y en (4^2)^4.
- Elegir a qué es igual a^m · a^n (a^(m+n)).
- Elegir a qué es igual a^m / a^n (a^(m−n)).
- Elegir a qué es igual (a^m)^n (a^m·n).
Sala 3 · Reto: simplifica en cadena
Tres expresiones que mezclan producto, cociente y potencia de potencia. El alumno aplica las propiedades paso a paso hasta dejar una sola potencia de a y escribe solo el exponente final. Si se atasca, la pista le dice por dónde empezar: juntar primero el producto del numerador o resolver primero la potencia de potencia.
Tareas para el alumno
- Simplificar (a^3 · a^2) / a^4 y escribir el exponente (1).
- Simplificar (a^2)^3 / a^2 y escribir el exponente (4).
- Simplificar (a^5 · a) / (a^2)^2 y escribir el exponente (2).
Sala 4 · Bases y exponentes distintos
Una caja con la regla: para combinar dos potencias en un producto o cociente tiene que haber algo en común, la base o el exponente. Cuatro ejemplos numéricos la ilustran (base común, exponente común, nada en común, suma o resta) y una nota aclara que las sumas y restas de potencias nunca se combinan con estas reglas. Después, seis preguntas de opción múltiple en las que el alumno decide qué se puede hacer: con la misma base los exponentes se suman, con el mismo exponente se multiplican las bases, y cuando no hay nada en común o es una suma o resta, no se puede combinar.
Tareas para el alumno
- Calcular 3^4 · 3^2 (3^6, misma base).
- Calcular 3^4 · 5^4 ((3 · 5)^4, mismo exponente).
- Decidir qué pasa con 3^4 · 5^2 (no se puede combinar).
- Decidir qué pasa con 3^4 + 3^2 (una suma no se simplifica con estas reglas).
- Calcular 10^5 / 2^5 ((10 / 2)^5, mismo exponente).
- Decidir qué pasa con 6^7 − 6^3 (una resta no se simplifica así).
Sala 5 · Test de velocidad: simplifica y calcula
Un test contrarreloj de 12 preguntas de cuatro opciones sobre producto, cociente, potencia de potencia y potencia de un producto o cociente. Algunas no se pueden simplificar (bases distintas o suma de potencias) y hay que reconocerlo. Cada pregunta tiene un tiempo límite: un fallo devuelve la pregunta al final de la cola y sube el tiempo disponible, un acierto lo baja. Si al terminar la puntuación es negativa, el test se repite.
Tareas para el alumno
- Contestar 12 preguntas con tiempo, como a^4 · a^3, (a^2)^4 o (a · b)^3.
- Reconocer las que no se pueden combinar, como a^3 · b^2 o a^5 + a^3.
- Repetir las preguntas falladas, que vuelven al final de la cola.
- Superar el test con puntuación no negativa.
Sala 6 · La escalera: exponente cero y negativos
Una escalera con 2^3 = 8, 2^2 = 4 y 2^1 = 2, y tres huecos más abajo: 2^0, 2^−1 y 2^−2. Cada escalón hacia abajo divide entre 2, y el alumno completa los huecos con enteros o con fracciones («1/2»). Después, dos preguntas de opción múltiple justifican el patrón: a^0 = 1 porque a^n / a^n es a^0 y también 1, y a^−n es 1/a^n.
Tareas para el alumno
- Calcular 2^0 siguiendo el patrón (1).
- Calcular 2^−1 (1/2).
- Calcular 2^−2 (1/4).
- Elegir por qué a^0 = 1 (porque a^n / a^n da a^0 y da 1).
- Elegir cómo se escribe a^−n como fracción (1/a^n).
Sala 7 · Exponentes fraccionarios
Se parte de a^0,5 = √a con tres ejemplos: 4^0,5 = 2, 9^0,5 = 3 y 16^0,5 = 4. Una gráfica de 4^x con un deslizador para el exponente, de −2 a 3, y una lectura de 4^x; cuando el deslizador cae en un exponente reconocible (1/2, −1/2, 1/3, 2/3, 3/2, 5/2…), aparece su forma de raíz. Después, dos cálculos con el mismo patrón, 4^1,5 = 4^1 · 4^0,5 y 4^3,5 = 4^3 · 4^0,5; el primero se puede comprobar moviendo el deslizador hasta 1,5 y el segundo queda fuera de su rango.
Tareas para el alumno
- Mover el deslizador de 4^x y leer lo que aparece en los exponentes fraccionarios.
- Calcular 4^1,5 (8).
- Calcular 4^3,5 (128).
Sala 8 · Práctica: potencias fraccionarias
La regla no se da de entrada. Primero un ejemplo, 4^(3/2) = √(4^3) = 8, y una reflexión guiada: si 8^(4/3) = x, al elevar al cubo queda x^3 = 8^4 = 4096, y la raíz cúbica de 4096 es 16. Después, una pregunta de opción múltiple sobre qué es a^m/n (la raíz n-ésima de a^m). Solo al contestarla aparecen la caja con la regla y la serie de retos: calcular potencias fraccionarias y negativas y escribir otras como raíz o como fracción.
Tareas para el alumno
- Deducir el valor de 8^(4/3) resolviendo x^3 = 8^4 (16).
- Elegir qué es a^m/n (la raíz n-ésima de a^m).
- Calcular potencias fraccionarias y negativas de la serie de práctica.
- Escribir a^(2/5) en forma de raíz.
- Escribir 5^−3 en forma de fracción (1/125).
- Escribir a^(−3/4) en forma de raíz y fracción.
Sala 9 · Test de velocidad: fraccionarias
Un test contrarreloj de 10 preguntas como las de la sala anterior, con el mismo mecanismo de cola y tiempo que la sala 5: potencias fraccionarias y negativas con cuatro opciones, como 16^(1/2), 27^(2/3), 8^(4/3) o 9^(−1/2), y ejercicios de escribir una potencia en forma de raíz o de fracción. Un fallo devuelve la pregunta al final de la cola y sube el tiempo disponible.
Tareas para el alumno
- Contestar 10 preguntas con tiempo sobre potencias fraccionarias y negativas.
- Calcular valores como 27^(2/3) (9), 8^(4/3) (16) o 9^(−1/2) (1/3).
- Repetir las preguntas falladas.
- Superar el test con puntuación no negativa.
Sala 10 · Factoriza y simplifica: bases compuestas
Las potencias 6^10, 4^5 y 27^3 no comparten base a simple vista. Un ejemplo modelado las descompone en primos: 6^10 = 2^10 · 3^10, 4^5 = 2^10 y 27^3 = 3^9, y la fracción 6^10 / (4^5 · 27^3) queda (2^10 · 3^10) / (2^10 · 3^9). El alumno tacha los factores de 2 y los factores de 3 en dos cajas, y el resultado es 3. Después, dos expresiones nuevas que debe factorizar y simplificar él.
Tareas para el alumno
- Tachar los factores de 2 y de 3 en el ejemplo modelado.
- Factorizar y simplificar 9^4 / 3^6 (9).
- Factorizar y simplificar 8^5 / (2^3 · 4^6) (1).
Sala 11 · La función exponencial
La gráfica de y = a^x con un deslizador para la base a, de 0,2 a 4, la asíntota y = 0, el punto (0, 1) y una tabla de valores para x de −2 a 2. El alumno mueve la base y observa cómo cambia la curva: con a > 1 crece y con 0 < a < 1 decrece. Tres preguntas de opción múltiple fijan lo observado.
Tareas para el alumno
- Elegir por qué punto pasan todas las curvas, muevas como muevas a ((0, 1)).
- Decidir si a^x puede valer 0 o ser negativa (no, es siempre positiva).
- Decir cómo se comporta la función si 0 < a < 1 (decrece).
Sala 12 · Reto: consigue la exponencial
La misma gráfica, con un deslizador de la base de 0,1 a 5 y un punto rojo en la gráfica que marca el objetivo. El alumno ajusta a y pulsa Comprobar; se acepta si la curva pasa por el punto con un margen pequeño. Son tres objetivos seguidos: una exponencial que pase por (2, 9), una decreciente que pase por (1, 0,5) y una que cumpla f(3) = 8. Si se interrumpe, el reto reanuda donde se dejó.
Tareas para el alumno
- Conseguir una exponencial que pase por (2, 9) (a = 3).
- Conseguir una exponencial decreciente que pase por (1, 0,5) (a = 1/2).
- Conseguir una exponencial con f(3) = 8 (a = 2).
Sala 13 · La exponencial siempre gana
Las gráficas de y = x^2, y = x^3 e y = 2^x en los mismos ejes, con un deslizador de zoom que va de ±3 a ±20 y una lectura de valores (en x = 10: 100, 1000 y 1024). Al alejar el zoom se ve cómo la exponencial adelanta a las otras dos. Un texto compara un algoritmo de coste 2^n con uno de coste n^2: con n = 50, 2500 operaciones frente a más de mil billones. El reto final: encontrar un valor de x a partir del cual x^10 < 2^x se cumpla para siempre. Cuanto menor, mejor; al acertar se muestra el mínimo real, x ≈ 58,77, y el primer entero, 59.
Tareas para el alumno
- Alejar el zoom y observar dónde 2^x adelanta a x^2 y x^3.
- Escribir un valor de x desde el cual x^10 < 2^x se cumple para siempre.
- Si el valor no cumple la desigualdad o solo la cumple un rato, probar otro mayor.
Sala 14 · Tutorial: graficar una exponencial
Un algoritmo en cinco pasos: asíntota horizontal, punto fijo (0, 1), cálculo de (1, a) y (−1, 1/a), un punto extra y unión con la curva. Primero se ve modelado con y = 3^x. Luego lo hace el alumno con y = (1/2)^x: para cada punto calcula primero el valor y después lo toca en la gráfica; la curva se dibuja al final.
Tareas para el alumno
- Calcular f(0) y marcar (0, 1).
- Calcular f(1) = (1/2)^1 y marcar (1, 0,5).
- Calcular f(−1) = (1/2)^−1 y marcar (−1, 2).
- Calcular f(2) = (1/2)^2 y marcar (2, 0,25).
Sala 15 · Practica: grafica tú solo
Sin lista de pasos: el alumno decide qué calcular para dibujar dos exponenciales, primero la creciente y = 4^x y después la decreciente y = (1/3)^x. Para cada una calcula el punto fijo, f(1) y f(−1) y los marca en la gráfica; la curva aparece al terminar los tres puntos.
Tareas para el alumno
- Calcular y marcar los puntos de y = 4^x: (0, 1), (1, 4) y (−1, 0,25).
- Calcular y marcar los puntos de y = (1/3)^x: (0, 1), (1, 1/3) y (−1, 3).
Sala 16 · La pregunta inversa
El logaritmo se presenta como el exponente que falta. El alumno encuentra el exponente en cinco ecuaciones: 2^? = 8, 3^? = 9, 9^? = 3, 2^? = 1/4 y 5^? = 1, y lo escribe como log_2 8, log_3 9… Aparecen un exponente fraccionario (la raíz cuadrada es elevar a 1/2), uno negativo y uno cero.
Tareas para el alumno
- Calcular log_2 8 (3).
- Calcular log_3 9 (2).
- Calcular log_9 3 (1/2).
- Calcular log_2 (1/4) (−2).
- Calcular log_5 1 (0).
Sala 17 · Las máquinas inversas
Dos máquinas animadas: la Elevadora, que coge un número x y calcula 2^x, y la Logarítmica, que calcula log_2 x. El alumno mete un 5 en la Elevadora y su salida en la Logarítmica, y comprueba que vuelve a salir 5; después, un 3 en la Logarítmica y su salida en la Elevadora, y vuelve el 3. Las máquinas se retiran y queda la gráfica con el espejo y = x: arrastra un punto sobre la exponencial y ve su reflejo en el logaritmo. Para cerrar, un cálculo de ida y vuelta: sabiendo que log_2 1,919 ≈ 0,94, calcula 2^0,94 sin calculadora.
Tareas para el alumno
- Meter 5 en la Elevadora y su resultado en la Logarítmica (sale 5).
- Meter 3 en la Logarítmica y su resultado en la Elevadora (sale 3).
- Arrastrar el punto sobre la exponencial y observar su reflejo en el logaritmo.
- Calcular 2^0,94 sabiendo que log_2 1,919 ≈ 0,94 (1,919).
Sala 18 · La gráfica del logaritmo
La gráfica de y = log_a x con un deslizador de la base a, de 0,25 a 4, la asíntota vertical x = 0, el punto (1, 0) y una tabla con x = 0,5, 1, 2, 4 y 8. Un texto contrasta con la exponencial: allí la asíntota era horizontal y aquí es vertical, y el dominio está acotado por la izquierda. Tres preguntas de opción múltiple: el dominio, por qué no existe log(−5) y qué pasa si 0 < a < 1.
Tareas para el alumno
- Elegir el dominio de log_a x (los números positivos).
- Elegir por qué no existe log(−5) (no hay exponente c con a^c = −5).
- Decir cómo es log_a x si 0 < a < 1 (decreciente).
Sala 19 · Las propiedades del logaritmo
Una tabla pone en paralelo las propiedades de la potencia y las del logaritmo: multiplicar se convierte en sumar, dividir en restar y el exponente pasa a multiplicar. Con dos deslizadores, x e y entre 1 y 20, el alumno comprueba que log(x · y) y log x + log y dan lo mismo. Luego tres cálculos, el último un contraejemplo: la suma dentro del logaritmo no se separa.
Tareas para el alumno
- Comprobar con los deslizadores que log(x · y) = log x + log y.
- Calcular log(x · y) sabiendo que log x = 0,7 y log y = 0,3 (1).
- Calcular log(x / y) sabiendo que log x = 0,9 y log y = 0,2 (0,7).
- Calcular log(2) con los deslizadores y compararlo con log 1 + log 1 = 0 (0,301).
Sala 20 · Tutorial: graficar un logaritmo
El algoritmo equivalente para el logaritmo: asíntota vertical, punto fijo (1, 0), cálculo de (a, 1) y (1/a, −1), un punto extra y unión con la curva. Se ve modelado con base 2 y después lo hace el alumno con y = log_1/2 x: calcula el valor de cada punto y lo toca en la gráfica.
Tareas para el alumno
- Escribir el valor de y en el punto fijo (1, y) (0).
- Calcular log_1/2 (0,5) (1) y marcar el punto.
- Calcular log_1/2 2 (−1) y marcar el punto.
- Calcular log_1/2 (0,25) (2) y marcar el punto.
Sala 21 · Practica: grafica tú solo
Sin lista de pasos, el alumno grafica dos logaritmos: primero y = log_3 x, creciente, y después y = log_1/4 x, decreciente. Para cada uno calcula tres puntos y los marca en la gráfica; la curva se dibuja al final.
Tareas para el alumno
- Calcular y marcar log_3 1, log_3 3 y log_3 (1/3) (0, 1 y −1).
- Calcular y marcar log_1/4 1, log_1/4 (1/4) y log_1/4 4 (0, 1 y −1).
Sala 22 · Reconocimiento final
Cinco rondas para distinguir los cuatro tipos de gráfica: exponencial creciente, exponencial decreciente, logaritmo creciente y logaritmo decreciente. En tres rondas se da una fórmula y el alumno elige entre cuatro gráficas pequeñas; en las otras dos se da una gráfica y elige entre cuatro fórmulas. Un fallo sugiere fijarse en la asíntota y en si la curva crece o decrece.
Tareas para el alumno
- Elegir la gráfica de y = 3^x (exponencial creciente).
- Elegir la gráfica de y = log_4 x (logaritmo creciente).
- Elegir la gráfica de y = (1/3)^x (exponencial decreciente).
- Dada una exponencial decreciente, elegir su fórmula entre cuatro (y = (1/2)^x).
- Dado un logaritmo decreciente, elegir su fórmula entre cuatro (y = log_1/2 x).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.