Objetivos didácticos
Un lab de primaria (5º y 6º) para descubrir qué quiere decir «probabilidad» con urnas de bolas de colores, ruletas, monedas, dados, bebés y hormigas. Cada sala sigue el mismo recorrido: el alumno apuesta primero, por intuición; después hace muchos experimentos muy deprisa; luego ve todos los casos posibles, sin esconder ninguno; y por último marca los que le interesan y los cuenta. Cada alumno empieza con 10 Ᵽ; una apuesta ganada suma 5 Ᵽ y una perdida resta 3 Ᵽ. Hay una apuesta en cada sala (tres en la última) y se resuelve con una serie larga de experimentos (de 100 a 1000) que se juega sola, así que decidir bien compensa.
No hay pantallas de explicación: la teoría se presenta como retos. Primero se experimenta a mano unas pocas veces (sale la bola, gira la moneda, rueda el dado) y luego en serie, con un histograma que se va llenando. Después se dibujan todos los casos (la urna con todas sus bolas, la tabla de las monedas, la tabla 6 × 6 de los dos dados, el árbol, las flechas de las hormigas) y el alumno toca los que cuentan y escribe la fracción. La línea del cálculo se dibuja sobre el histograma solo después de calcularla, y así se compara con lo que ha salido.
Qué se aprende
El lab lleva al alumno desde «sale más lo que tiene más casos» hasta usar la probabilidad para decidir, pasando por las trampas más comunes. Se organiza en cinco bloques de salas.
- Comparar sucesos contando casos y ver que más probable no quiere decir seguro (salas 1-2).
- Situar la probabilidad en una escala de 0 a 1, con el 0 de lo imposible y el 1 de lo seguro (salas 3-4).
- Usar la regla «casos favorables entre casos posibles» y saber cuándo falla: cuando los casos no son igual de probables (salas 5, 7 y 8).
- Entender que ½ no quiere decir «una de cada dos»: dice lo que pasa a la larga, no en cada pareja de lanzamientos (sala 6, y vuelve en casi todas las demás).
- Contar todas las posibilidades con tablas y árboles para no olvidar ninguna (salas 9-11).
- Resolver problemas con trampa, en los que saber algo cambia los casos que quedan: los bebés, los hijos de Juan y de Ana y las hormigas (salas 12-15).
- Decidir con la probabilidad: repartir las bolas entre dos urnas para ganar más puntos, y repasar todo con situaciones nuevas (salas 16-17).
Ideas matemáticas clave
- Más casos, más probable. En una urna con 7 bolas rojas, 2 azules y 1 verde, el rojo sale unas 7 de cada 10 veces. Con las ruletas, lo que cuenta es cuánto ocupa el color en total, no si está junto o repartido: 2/8, 3/8 y 4/8. Pero más probable no es seguro: en una sola bola puede salir la verde.
- De 0 a 1. Sacar roja de una urna de bolas rojas es seguro (1) y sacar azul es imposible (0). Con 4 bolas de una urna con 3 colores siempre se repite un color (1); sacar las 4 rojas, habiendo solo 3, es imposible (0). Con 3 bolas ya no es seguro: salen tres colores distintos 3 de cada 11 veces y el color se repite 8 de cada 11.
- Casos favorables entre casos posibles. En una urna de 3 bolas rojas y 5 azules, el rojo es 3/8 y el azul, 5/8. La regla solo vale si todos los casos son igual de probables: «premio o nada» en una ruleta con un trozo de 20 es 1/20, no ½, y «rojo o azul» con el rojo en 3 trozos de 8 es 3/8. Para contar casos hay que partir primero en trozos iguales.
- ½ no es «una de cada dos». Con 10 monedas, exactamente 5 caras sale solo 1 de cada 4 veces (63/256 ≈ 0,25), y con 100 monedas, exactamente 50 caras, unas 8 de cada 100 tandas. En 2 lanzamientos de dos monedas, «una cara y una cruz» sale exactamente 1 vez solo en la mitad de las tandas. Lo que se acerca a ½ es la proporción de caras cuando se lanzan muchísimas monedas. Lo mismo vale para 1/8, 1/6 o 3/4: ninguna probabilidad dice «una de cada n» en pocos intentos.
- Contar todos los casos. Dos monedas dan 4 casos y «una de cada» ocupa dos (OX y XO): ¼, ½, ¼; el error de D’Alembert fue contarla como un solo caso. Tres monedas dan 8 caminos: 1/8 para tres caras, 3/8 para exactamente dos y 7/8 para al menos una. Dos dados dan 36 casillas: el 7 tiene 6 (1/6) y el 2 y el 12, una cada uno. Cuatro monedas dan 16 casos y 6 con dos caras: 6/16 = 3/8.
- Lo que pasó antes no cuenta. Si ya han nacido dos niños, los dos bebés siguientes tienen 4 casos igual de probables y «un niño y una niña» es 2/4 = 1/2.
- Saber algo cambia los casos. Si una familia con dos hijos tiene al menos una niña, quedan 3 casos de los 4 y las dos niñas son 1/3, no ½. Si el hijo mayor de Juan es varón, quedan 2 casos y dos varones es 1/2; si de Ana solo se sabe que tiene al menos un varón, quedan 3 casos y es 1/3.
- Las hormigas. Con tres hormigas en un triángulo hay 8 combinaciones de flechas y solo 2 evitan el encuentro (las tres en el mismo sentido): se encuentran con probabilidad 6/8 = 3/4.
- Decidir. Con dos urnas, 10 bolas blancas y 10 negras, el ordenador elige una urna al azar, y la probabilidad de blanca es ½ · p₁ + ½ · p₂. Repartiendo mitad y mitad, o todas las blancas juntas, sale ½ (unos 250 puntos en 100 partidas); con una blanca sola en una urna, ½ · 1 + ½ · 9/19 = 14/19 ≈ 0,74 (unos 605): es mejor que una urna gane siempre aunque la otra quede un poco peor.
Nivel: primaria, 5º y 6º (10-12 años). Es el lab de primaria de la serie de probabilidad: la tabla de casos, el árbol y la regla de casos favorables entre posibles son las herramientas que retoman después los labs de ESO y bachillerato, como «Monty Hall». En clase funciona bien proyectar la sala 6 o la sala 9 pidiendo a la clase que vote antes de lanzar, y dejar que prueben por parejas los repartos de la sala 16. Las salas 13 y 14 dan pie a discusión: la intuición dice ½ y la tabla dice 1/3.
Contenidos por salas
Sala 1 · ¿Qué color saldrá?
Una urna con 10 bolas: 7 rojas, 2 azules y 1 verde. Se saca una, se mira su color y se devuelve. Apuesta: si se saca una bola, se apunta y se devuelve, así 100 veces, ¿qué color saldrá más (rojo, azul o verde)? Se sacan 6 bolas a mano, con un histograma de colores, y la apuesta se resuelve con una serie de 100 bolas; después se puede seguir experimentando con 100 o 1000 bolas más. Entonces se cuentan las bolas de la urna y se escribe «7 de 10»; con ese reto aparece en el histograma la línea del cálculo (0,7; 0,2 y 0,1). Por último se ordenan los colores de más a menos probable. Es más probable lo que tiene más casos, pero más probable no quiere decir seguro: en una sola bola puede salir la verde.
Tareas para el alumno
- Apostar qué color saldrá más en 100 bolas.
- Contar en la urna cuántas bolas rojas hay y cuántas hay en total (7 de 10).
- Ordenar los colores de más a menos probable (rojo, azul, verde).
Sala 2 · Tres ruletas
Tres ruletas con sectores de distinto tamaño: en la A el rojo ocupa 1/4 de la ruleta, en la B ocupa 3/8 (en los dos casos en un solo sector) y en la C rojo y azul se alternan en 8 sectores iguales, así que el rojo suma la mitad. Apuesta: ¿en cuál saldrá más veces el rojo (A, B, C o igual en las tres)? Se giran las tres a la vez 3 veces a mano, con un contador de rojos bajo cada una, y la apuesta se resuelve con 300 giros de cada ruleta y un diagrama de barras con los rojos de cada una. Después cada ruleta se parte en 8 trozos iguales y se cuentan los rojos: 2, 3 y 4 de 8; la raya del cálculo (en proporción 2 : 3 : 4) se dibuja en las barras tras ese reto. Lo que cuenta es cuánto ocupa el rojo en total, no si está junto o repartido: la C parece tener rojos pequeños, pero juntos ocupan la mitad.
Tareas para el alumno
- Apostar en qué ruleta saldrá más veces el rojo.
- Escribir cuántos de los 8 trozos son rojos en cada ruleta (2, 3 y 4).
- Ordenar las ruletas de más a menos probable sacar rojo (C, B, A).
Sala 3 · De 0% a 100%
La probabilidad se mide de 0% a 100%, y esta sala enseña qué significan los dos extremos, sin apuesta ni experimentos: sacar bolas de una urna que solo tiene rojas no enseña nada que no se vea. Primero se abre una idea ilustrada («💡 Idea», botón «Lo entiendo →»): lo que no ocurre nunca es 0%, lo que ocurre siempre es 100% y lo que tiene la misma oportunidad de ocurrir que de no ocurrir es 50%, con ejemplos de una moneda (cara y cruz a la vez, 0%; cruz, 50%; cara o cruz, 100%). Después, una urna con 8 bolas, todas rojas: se pregunta la probabilidad de sacar roja (100%: es seguro) y la de sacar azul (0%: es imposible). Por último se colocan seis sucesos en el termómetro de la probabilidad, de 0% a 100%, con cinco zonas de «imposible» a «seguro»: sacar un 7 con un dado (imposible), que nieve en agosto en Sevilla (poco probable), sacar un número par con un dado (tan probable como no, 50%: 3 de 6), sacar menos de 6 con un dado (muy probable: 5 de cada 6) y que mañana amanezca o sacar roja de la urna de bolas rojas (seguro).
Tareas para el alumno
- Elegir la probabilidad de sacar una bola roja de la urna de bolas rojas (100%: es seguro).
- Elegir la probabilidad de sacar una bola azul de esa misma urna (0%: es imposible).
- Colocar seis sucesos en el termómetro de la probabilidad, de imposible a seguro.
Sala 4 · ¿Seguro?
Una urna con 3 bolas rojas, 4 verdes y 5 azules, de la que se sacan varias bolas a la vez, sin devolverlas (4 en la apuesta y 3 más adelante; la introducción vale para toda la sala). Apuesta: ¿habrá siempre al menos dos bolas del mismo color (sí, siempre; casi siempre pero no siempre; o más o menos la mitad de las veces)? Se sacan 4 bolas a mano 3 veces, y un aviso dice si se repite el color; la apuesta se resuelve con 1000 extracciones de 4 bolas, y el color se repite en todas: probabilidad 100%. Es seguro porque solo hay 3 colores y la cuarta bola tiene que repetir uno. Sacar las 4 bolas rojas, en cambio, es imposible (0%): solo hay 3 rojas. Después se sacan solo 3 bolas, otras 1000 veces, y se pregunta si ahora es seguro que se repita el color: no lo es, porque a veces salen una roja, una verde y una azul (3 de cada 11 veces); el color se repite 8 de cada 11 veces. «Casi siempre» no es «siempre».
Tareas para el alumno
- Apostar si con 4 bolas habrá siempre dos del mismo color.
- Elegir por qué se repite el color siempre (hay 3 colores y se sacan 4 bolas).
- Elegir la probabilidad de que las 4 bolas sean rojas (0%: solo hay 3 rojas).
- Decidir si con 3 bolas es seguro que se repita un color (no: a veces salen tres colores distintos).
Sala 5 · Casos favorables entre casos posibles
La sala abre con una idea ilustrada («💡 Idea», «Lo entiendo →»): la probabilidad se puede calcular sin experimentar, contando casos; ejemplo, una ruleta de 4 partes iguales con solo una roja marca rojo 1 de cada 4 veces, 25 de cada 100, un 25%, siempre que las partes sean iguales. Después, una urna con 8 bolas: 3 rojas y 5 azules. Apuesta: si se sacan 200 bolas, devolviéndolas cada vez, ¿qué saldrá más, roja, azul o igual? Se sacan 6 bolas a mano, con un histograma, y la apuesta se resuelve con una serie de 200; después se puede seguir experimentando con 100 o 1000 bolas más. Entonces el alumno cuenta las bolas de la urna (cuántas son rojas y cuántas hay en total) y escribe «3 de 8»; ya no se marcan las rojas. Aquí se enuncia la regla: la probabilidad es casos favorables entre casos posibles, y para sacar azul son 5 de 8. Con ese reto aparecen en el histograma las líneas del cálculo (3 de 8 y 5 de 8). La regla solo vale si todas las bolas son igual de fáciles de sacar: si unas fueran más grandes o estuvieran más cerca, no funcionaría.
Tareas para el alumno
- Apostar qué saldrá más en 200 bolas: roja, azul o igual.
- Contar las bolas de la urna y escribir cuántas son rojas y cuántas hay en total, en dos casillas «a de b» (3 de 8).
- Escribir cuántas bolas azules hay de cuántas, con la regla de casos favorables entre posibles (5 de 8).
Sala 6 · 50% no es «una de cada dos»
Abre con una idea ilustrada («💡 Idea», «Lo entiendo →»): para estimar una probabilidad se hace el experimento 100 veces y se cuenta cuántas ha ocurrido; con una moneda se esperan unas 50 caras y 50 cruces, pero no siempre será así. Después se lanzan 10 monedas a la vez; cada lanzamiento de 10 monedas es una tanda, y se cuentan las caras. Apuesta: ¿qué pasa más a menudo, que salgan exactamente 5 caras, que salga cualquier otro número de caras, o las dos cosas igual? Se hacen 2 tandas a mano, con un histograma del número de caras (la barra del 5 va en dorado), y la apuesta se resuelve con 200 tandas: exactamente 5 caras sale solo 1 de cada 4 veces (63/256 ≈ 0,25). Se pregunta si el 50% quiere decir que en 10 lanzamientos salen 5 caras: no. Con 100 monedas y 1000 tandas, exactamente 50 caras sale solo unas 8 de cada 100 tandas. Lo que sí se acerca al 50% es la proporción de caras: una gráfica la sigue con 1, 10, 100, 1000 y 2000 monedas seguidas, y la línea del 50% se dibuja tras el reto. Por último, con 1000 lanzamientos se esperan unas 500 caras, casi seguro que no justo 500, pero muy cerca. Es la idea que vuelve en todo el lab: el 50% dice lo que pasa a la larga, no en cada pareja de lanzamientos ni en cada tanda de 10.
Tareas para el alumno
- Apostar si es más frecuente que salgan exactamente 5 caras o cualquier otro número.
- Decidir si una probabilidad del 50% quiere decir que en 10 lanzamientos salen 5 caras (no: pasa solo 1 de cada 4 veces).
- Elegir qué se acerca al 50% al lanzar muchísimas monedas (la proporción de caras).
- Escribir cuántas caras se esperan en 1000 lanzamientos (unas 500).
Sala 7 · ¿Dos posibilidades, 50%?
Hay quien dice: «son dos posibilidades, así que la probabilidad es 50%». La sala abre con una idea ilustrada («💡 Idea», «Lo entiendo →»): contar casos solo funciona si todos tienen la misma oportunidad de salir; el ejemplo es el del cocodrilo («o me come o no me come, así que 50%» es falso) y la ruleta de premio o nada partida en 20 trozos iguales, de los que solo 1 es de premio: 1 de cada 20, unas 5 de cada 100 (5%). Después se comprueba con esa ruleta de dos resultados: premio (amarillo) o nada (gris). Apuesta: en 100 giros, ¿cuántos premios saldrán (entre 40 y 60, menos de 15 o más de 80)? Se gira la ruleta 5 veces a mano, con un histograma y un contador de premios, y la apuesta se resuelve con 100 giros: salen unos 5 premios, no 50. Entonces la ruleta se parte en 20 trozos iguales y se pregunta cuántos tendrían que ser de premio para que saliera la mitad de las veces (10 de 20); el reto de la fracción de premio ya no existe, porque lo ha explicado la idea. El reto final es el de «o acabas en la cárcel o no: dos posibilidades, así que 1 de cada 2», que se descarta porque los dos casos no son igual de probables. La regla de casos favorables entre posibles solo vale si los casos son igual de probables.
Tareas para el alumno
- Apostar cuántos premios saldrán en 100 giros.
- Elegir cuántos de los 20 trozos tendrían que ser de premio para que saliera la mitad de las veces (10).
- Decidir si «o acabas en la cárcel o no, luego 1 de cada 2» es verdad (no: los dos casos no son igual de probables).
Sala 8 · La ruleta tramposa
Una ruleta de dos colores, rojo y azul, en la que el rojo ocupa 3/8 en un solo sector y el azul, 5/8. Apuesta: con dos colores, en 200 giros, ¿qué saldrá más (rojo, azul o igual)? Se gira 5 veces a mano, con un histograma, y la apuesta se resuelve con 200 giros: el azul gana, con unos 125 giros frente a unos 75. Después la ruleta se parte en 8 trozos iguales y se tocan los trozos rojos (3); la fracción de rojo es 3/8, no ½, aunque haya dos colores; con ese reto se dibuja la línea del cálculo. Para contar casos hay que partir primero en trozos iguales.
Tareas para el alumno
- Apostar qué color saldrá más en 200 giros.
- Marcar los trozos rojos de la ruleta partida en 8 trozos iguales (3).
- Escribir la probabilidad de rojo como fracción (3/8).
Sala 9 · Dos monedas
La sala abre con una idea ilustrada («💡 Idea», «Lo entiendo →»): cuando pasan dos cosas a la vez, una tabla ayuda a no olvidar ningún caso; ejemplo, un helado de 2 sabores con 3 toppings, 2 × 3 = 6 casillas. Después, una moneda de oro y otra de plata, que se lanzan juntas; O es cara y X es cruz. Apuesta: en 300 lanzamientos, ¿qué saldrá más (dos caras, dos cruces, una cara y una cruz, o las tres cosas igual)? Se lanzan 6 veces a mano, con un histograma, y la apuesta se resuelve con 300 lanzamientos: sale una de cada en la mitad de los casos y dos caras y dos cruces en una cuarta parte cada una. Después se ve la tabla de todos los casos, con el oro en las filas y la plata en las columnas: «una cara y una cruz» ocupa dos casillas (OX y XO), así que su probabilidad es 2/4 y la de dos caras, 1/4. Se explica el error de D’Alembert, que creía que las tres posibilidades valían ⅓ por contar «una de cada» como un solo caso. Por último, en 100 tandas de 2 lanzamientos, «una cara y una cruz» sale exactamente 1 vez solo en la mitad de las tandas: ½ no es «una de cada dos».
Tareas para el alumno
- Apostar qué saldrá más al lanzar dos monedas.
- Marcar las casillas de la tabla en que sale una cara y una cruz (2).
- Escribir, con dos casillas «a de b» cada vez, cuántas casillas valen de cuántas hay: una cara y una cruz (2 de 4) y dos caras (1 de 4).
- Elegir dónde estaba el error de D’Alembert («una de cada» son dos casos, OX y XO).
Sala 10 · Tres monedas
La sala abre con una idea ilustrada («💡 Idea», «Lo entiendo →»): si pasan varias cosas una detrás de otra se dibuja un árbol, y cada camino es un caso; ejemplo, camiseta roja o azul y pantalón corto o largo, 2 × 2 = 4 caminos. Después se lanzan tres monedas a la vez. Apuesta: en 200 lanzamientos, ¿qué sale más, tres caras o exactamente dos caras (o igual)? Se lanzan 5 veces a mano, con un histograma del número de caras, y la apuesta se resuelve con 200 lanzamientos. Después se dibuja un árbol rama a rama, moneda por moneda: cada moneda parte los caminos en dos, y hay 8 caminos en total (2 × 2 × 2). Se tocan los caminos con exactamente dos caras (OOX, OXO y XOO), se escribe la probabilidad de tres caras (1/8) y de exactamente dos (3/8), y se dibuja la línea del cálculo (1/8, 3/8, 3/8, 1/8). Por último se cuenta el único camino sin ninguna cara (XXX) y se deduce que «al menos una cara» tiene probabilidad 7/8. Tres caras es 1/8 pero no quiere decir «una de cada 8», y «exactamente dos» sale tres veces más porque tiene 3 caminos y no 1.
Tareas para el alumno
- Apostar si sale más tres caras o exactamente dos caras.
- Escribir cuántos caminos hay en total en el árbol (8).
- Tocar los caminos con exactamente dos caras (3).
- Escribir la probabilidad de tres caras (1 de 8) y de exactamente dos (3 de 8).
- Escribir en cuántos caminos no hay ninguna cara (1) y la probabilidad de al menos una cara (7 de 8).
Sala 11 · Dos dados
Un dado rojo y otro azul, que se lanzan juntos y se suman. Apuesta: en 500 tiradas, ¿qué suma saldrá más (el 2, el 7, el 12 o todas igual)? Se tiran 6 veces a mano y la apuesta se resuelve con 500 tiradas y un histograma de las sumas de 2 a 12, que sale en forma de triángulo. Después aparece la tabla 6 × 6 con todas las maneras de caer los dos dados, con el dado rojo en las filas y el azul en las columnas: se cuentan las casillas (36), se marcan las del 7 (6) y las del 2 y el 12 (1 cada una), y se escribe la probabilidad del 7 (6/36) y del 12 (1/36). Con ese reto se dibuja la línea del cálculo. El 7 sale más porque se puede hacer de 6 maneras y el 12, de una. Además, 6/36 = 1/6 no quiere decir «un 7 de cada 6 tiradas».
Tareas para el alumno
- Apostar qué suma saldrá más en 500 tiradas.
- Escribir cuántas casillas tiene la tabla (36).
- Marcar las casillas con suma 7 (6) y las de suma 2 y 12 (1 cada una).
- Escribir la probabilidad del 7 (6/36) y la del 12 (1/36).
- Elegir por qué el 7 sale más que el 12 (hay 6 maneras de hacerlo y solo una de hacer 12).
Sala 12 · En el hospital
En un hospital acaban de nacer dos niños, y ahora van a nacer otros dos bebés, uno detrás de otro. Apuesta: en esos dos partos, ¿qué es más probable (dos niños, dos niñas, un niño y una niña, o las tres cosas igual)? Se ven nacer 5 parejas de bebés a mano, con dos cunas que se llenan, y la apuesta se resuelve con 300 parejas de partos: un niño y una niña sale en la mitad de los casos y cada una de las otras dos, en una cuarta parte. Se ve la tabla con el primer bebé en las filas y el segundo en las columnas: «un niño y una niña» ocupa dos casillas (niño y luego niña, y niña y luego niño), así que su probabilidad es 2/4 = 1/2; con ese reto se dibuja la línea del cálculo. Se pregunta si cambia algo que antes hayan nacido dos niños: no, cada parto empieza de cero. Y ½ no quiere decir «una de cada dos»: con pocas parejas puede salir más o menos veces.
Tareas para el alumno
- Apostar qué es más probable en los dos partos siguientes.
- Tocar las casillas de la tabla en que nacen un niño y una niña (2).
- Escribir la fracción de casillas que son «un niño y una niña» (2/4).
- Decidir si cambia algo que antes hayan nacido dos niños (no: cada bebé es niño o niña con ½).
Sala 13 · Al menos una niña
La sala abre con una idea ilustrada («💡 Idea», «Lo entiendo →»): cuando se sabe algo del resultado, se tachan los casos que ya no pueden ser y se cuenta solo entre los que quedan; ejemplo, un dado con «ha salido menos de 5»: se tachan el 5 y el 6 y que sea un 4 es 1 de 4, un 25%. Después, una familia tiene dos bebés y se sabe que al menos uno es niña. ¿Con qué probabilidad el otro también lo es? Apuesta: se simulan 600 familias y se conservan las que tienen al menos una niña (unas 450); ¿en qué fracción de ellas son las dos niñas (más o menos la mitad, más o menos 1 de cada 3, o en todas)? Se ven aparecer 6 familias a mano, y las que no tienen ninguna niña no valen y se apagan; la apuesta se resuelve con 600 familias, en una barra que cuenta «k de n». Después se ven las 4 familias posibles (el bebé mayor, a la izquierda) y se tacha la que no vale, la de niño y niño. Quedan 3, y solo en 1 las dos son niñas: 1/3, no ½. «Al menos una niña» deja 3 casos, no 2. Y 1/3 tampoco quiere decir «una de cada tres».
Tareas para el alumno
- Apostar en qué fracción de las familias con niña son las dos niñas.
- Tachar la familia que no vale, porque no tiene ninguna niña.
- Escribir en cuántas de las 3 familias que quedan son las dos niñas (1).
- Completar «el otro bebé también es niña en … de … familias» (1 de 3).
Sala 14 · Los hijos de Juan y de Ana
Juan y Ana no se conocen y cada uno tiene dos hijos. El hijo mayor de Juan es varón; Ana tiene al menos un hijo varón. Apuesta: ¿quién tiene más probabilidad de tener dos varones (Juan, Ana o igual)? Se ve una familia de cada uno 4 veces, con el hijo mayor a la izquierda, y la apuesta se resuelve con 300 familias de cada uno: Juan, unas 150 con dos varones; Ana, unas 100. Después, dos tablas de 4 familias: en la de Juan se tachan las que no pueden ser porque el mayor no es varón (quedan 2); en la de Ana, la que no tiene ningún varón (quedan 3). Dos varones es 1 de 2 para Juan (1/2) y 1 de 3 para Ana (1/3). No es lo mismo saber cuál de los dos hijos es el varón (deja 2 casos) que saber solo que hay al menos uno (deja 3).
Tareas para el alumno
- Apostar quién tiene más probabilidad de tener dos varones.
- Tachar en la tabla de Juan las familias en que el mayor no es varón (quedan 2).
- Tachar en la tabla de Ana la familia sin ningún varón (quedan 3).
- Escribir en cada tabla la fracción de familias con dos varones (1 de 2 y 1 de 3).
- Elegir por qué no es lo mismo (saber cuál es el varón deja 2 casos; «al menos uno», 3).
Sala 15 · Las tres hormigas
Tres hormigas, una en cada vértice de un triángulo. Cada una va a otro vértice, eligiendo al azar uno de los otros dos; si dos se cruzan por el camino o llegan al mismo vértice, se encuentran. Apuesta: ¿qué pasa más a menudo, que dos hormigas se encuentren, que no se encuentre ninguna o las dos cosas igual? Se sueltan las hormigas 5 veces a mano, con una animación que muestra el encuentro, y la apuesta se resuelve con 200 paseos: se encuentran en unos 150, tres cuartas partes. Después se ven las 8 combinaciones de flechas (cada hormiga elige entre 2 caminos), se marcan las 6 en que se encuentran y se escribe la fracción: 6/8 = 3/4. Solo se libran las dos combinaciones en que las tres van en el mismo sentido. Y 3/4 no quiere decir «3 de cada 4 paseos».
Tareas para el alumno
- Apostar si es más frecuente que se encuentren dos hormigas o que no se encuentre ninguna.
- Tocar las combinaciones de flechas en que se encuentran dos hormigas (6 de 8).
- Escribir la probabilidad de que se encuentren (6/8 = 3/4).
- Elegir cuándo no se encuentra ninguna (cuando las tres van en el mismo sentido).
Sala 16 · Reparte las bolas
Una historia: en un viaje con tus padres os secuestran unos caníbales y os dan 2 urnas, 10 bolas blancas y 10 negras. Hay que repartir las bolas entre las dos urnas, todas y sin dejar ninguna vacía; el jefe elige una urna al azar y su ayudante saca una bola al azar de esa urna: si es blanca, os liberan; si es negra, os comen. No hay apuesta entre repartos ya hechos: el alumno parte de dos urnas vacías, reparte él mismo las bolas y prueba cada reparto 100 veces, con el recuento de «libres», y una tabla guarda los repartos probados. El objetivo es salir libre más de 70 veces de cada 100; si no lo consigue aparecen pistas, la primera tras 4 intentos (mirar qué pasa con una urna de muy pocas bolas) y la segunda tras 8 (una sola blanca en la urna 1 y todas las demás en la 2). Con mitad y mitad, o con todas las blancas juntas, se sale libre unas 50 de cada 100; el mejor reparto, una blanca sola en una urna y el resto en la otra, da 1/2 · 1 + 1/2 · 9/19 = 14/19, unas 74 de cada 100. Después, tres retos de elección: con una blanca sola, si se elige esa urna sale blanca seguro; en la otra urna (9 blancas y 10 negras) es más probable la negra, 10 de 19; y «todas las blancas juntas» no mejora a «mitad y mitad» porque una urna salva seguro y la otra nunca.
Tareas para el alumno
- Repartir las bolas entre las dos urnas, sin dejar ninguna vacía, y probar cada reparto 100 veces.
- Buscar un reparto con el que se salga libre más de 70 veces de cada 100 (con pistas tras 4 y tras 8 intentos).
- Elegir qué pasa si el jefe elige la urna con una sola bola blanca (sale blanca seguro).
- Elegir qué es más probable en la otra urna, con 9 blancas y 10 negras (negra, 10 de 19).
- Explicar por qué «todas las blancas juntas» no mejora a «mitad y mitad» (una urna salva seguro y la otra nunca).
Sala 17 · Apuesta, prueba y cuenta
Repaso con tres situaciones nuevas; en cada una se apuesta, se prueba, se cuentan todos los casos y se contesta. Primera: una urna con 4 bolas amarillas y 1 roja; apuesta sobre qué color saldrá más en 100 bolas, se cuentan las bolas de la urna (cuántas son rojas y cuántas hay en total) y se escribe «1 de 5»; después se elige la probabilidad de sacar verde, 0% porque no hay ninguna (ya no se marca la roja). Segunda: un dado; apuesta sobre si en 300 tiradas saldrán más números pares, más números mayores que 4 o igual; se ven las 6 caras y se marcan los pares (2, 4 y 6: 3 de 6) y los mayores que 4 (5 y 6: 2 de 6). Tercera: 4 monedas a la vez; apuesta sobre cuántas veces saldrán exactamente 2 caras (casi siempre, unas 3 de cada 8 veces o nunca), con 200 tandas; se ve la tabla de los 16 casos, todos igual de probables, se marcan los 6 con dos caras y se escribe «6 de 16» (lo mismo que 3 de cada 8). Al terminar, un resumen de lo aprendido: más probable no es seguro, la probabilidad va de 0% a 100%, casos favorables entre posibles solo si son igual de probables, contar todos los casos con tablas y árboles, y ½ no es «una de cada dos».
Tareas para el alumno
- Apostar qué color saldrá más en la urna de 4 amarillas y 1 roja.
- Contar las bolas de la urna y escribir «1 de 5» para la roja, y elegir la probabilidad de sacar verde (0%).
- Apostar si saldrán más pares o más números mayores que 4 con un dado, y marcar las caras de cada caso (3 de 6 y 2 de 6).
- Apostar cuántas veces saldrán exactamente 2 caras con 4 monedas, y marcar los casos con 2 caras (6 de 16).
- Escribir cuántos casos tienen exactamente 2 caras y cuántos hay en total (6 de 16, o 3 de cada 8).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.