Objetivos didácticos
Lab de teoría de grupos para primer curso. Las trenzas son un grupo que se puede tocar: se tejen con cruces, se suman poniendo una debajo de otra y se deshacen con su reflejo. Es infinito, no abeliano y tiene una presentación con solo dos tipos de relaciones, así que repasa casi todo lo del curso (generadores, presentaciones, homomorfismos, núcleos, cocientes, conjugación, centro, abelianizado) con un ejemplo nuevo. Al final, al cerrar las trenzas aparecen los nudos, y los invariantes que los distinguen resultan ser homomorfismos.
Cada sala tiene entre cuatro y ocho retos, uno detrás de otro. Las hebras tienen colores de neón fijos, así que se ve dónde acaba cada una sin explicarlo.
Qué se aprende
- Leer y escribir trenzas como palabras en los generadores σᵢ y σᵢ⁻¹, y pasar del dibujo a la palabra y al revés.
- La operación del grupo: sumar dos trenzas poniendo una debajo de otra, el neutro, la inversa como reflejo, y que no es conmutativa.
- La presentación de Artin: cruces lejanos que conmutan y la relación de trenza σᵢσᵢ₊₁σᵢ = σᵢ₊₁σᵢσᵢ₊₁. Definir homomorfismos comprobando las relaciones.
- Simplificar palabras con esos movimientos y decidir si una trenza es trivial (el problema de la palabra), con la acción de Artin sobre el grupo libre y con la forma normal de Garside.
- La estructura de Bₙ: el homomorfismo a Sₙ y su núcleo (las trenzas puras), el abelianizado ℤ (contar cruces con signo) y el centro generado por la vuelta completa Δ².
- Cerrar una trenza para obtener un nudo o un enlace, contar sus componentes, desenredarlo con los movimientos de Reidemeister y reconocer cuándo dos trenzas dan el mismo enlace (Markov).
- Distinguir nudos con invariantes: el número de enlace, las tricoloraciones y el polinomio de Jones.
Ideas matemáticas clave
- Tres movimientos bastan. Toda deformación de una trenza es una cadena de tres tipos de pasos: deshacer una pareja σσ⁻¹, conmutar cruces lejanos y la relación de trenza (teorema de Artin).
- Las trenzas son infinitas pero se pueden comparar. La acción sobre el grupo libre es fiel, y la forma normal de Garside da una escritura única: así un ordenador decide si dos palabras son la misma trenza.
- Olvidar quién pasa por encima es un homomorfismo. π: Bₙ → Sₙ es sobreyectivo; su núcleo Pₙ es infinito, así que Bₙ es mucho más grande que Sₙ.
- Todos los σᵢ son conjugados, por eso cualquier homomorfismo a un grupo abeliano los manda al mismo sitio y el abelianizado es ℤ.
- Un invariante es algo que no cambia con Reidemeister. Las tricoloraciones son homomorfismos del grupo del nudo en el diédrico Δ₃; el trébol tiene 9 y el nudo trivial 3, luego no son el mismo nudo.
Fuentes y créditos
La presentación sigue a E. Artin, «Theorie der Zöpfe» (1925) y «Theory of braids» (1947). La forma normal es la de F. A. Garside (1969). Para el conjunto, C. Kassel y V. Turaev, Braid Groups (Springer, GTM 247, 2008). Los teoremas de Alexander (1923) y Markov (1935), las coloraciones de R. H. Fox y el corchete de L. H. Kauffman (1987) para el polinomio de V. F. R. Jones (1985).
Notas para el aula
- «¿La misma trenza?» funciona muy bien proyectada: que voten antes de ver la deformación animada.
- «El sumador de trenzas» es buen momento para repasar los axiomas de grupo con un objeto que se puede tocar (unas cuerdas o cordones de zapatos en la mesa ayudan).
- «La vuelta completa» se entiende mejor con el truco del cinturón: girar una vez el extremo de un cinturón y ver que las hebras se enrollan sin cruzarse de verdad.
- «Tres colores» es la primera demostración de que un nudo no se puede deshacer: merece una pausa.
Contenidos por salas
Sala 1 · Teje tu primera trenza
Para qué sirve hoy el grupo de trenzas (computación cuántica topológica, criptografía, ADN) y un poco de historia (Hurwitz, Artin). Definición de trenza y de los cruces σᵢ y σᵢ⁻¹. Se copian cuatro trenzas con un teclado de cruces y se descubre que hay infinitas.
Tareas para el alumno
- Copiar cuatro trenzas dibujadas.
- Decidir cuántas trenzas de 3 hebras hay.
Sala 2 · ¿La misma trenza?
Seis parejas de trenzas. Si son la misma, se ve la deformación animada (conmutar, deshacer una pareja, relación de trenza); si no, el invariante que lo impide: dónde acaba cada color o la suma de exponentes.
Tareas para el alumno
- Decidir en seis parejas si son la misma trenza.
Sala 3 · De la palabra al dibujo
Pasar de la palabra al dibujo (miniaturas con distractores: inversa, orden al revés, espejo, un signo cambiado) y del dibujo a la palabra.
Tareas para el alumno
- Elegir el dibujo de tres palabras.
- Escribir la palabra de tres dibujos.
Sala 4 · ¿Dónde acaba cada color?
El homomorfismo π: Bₙ → Sₙ. Dónde acaba una hebra, la permutación en ciclos, π(ab) = π(a)π(b), que es sobreyectivo y que su núcleo (σ₁²) son las trenzas puras.
Tareas para el alumno
- Seguir dos hebras.
- Escribir una permutación en ciclos.
- Componer dos permutaciones de trenzas.
- Encontrar una trenza del núcleo.
Sala 5 · El sumador de trenzas
El sumador pone una trenza debajo de otra con una animación. Repaso de los axiomas de grupo: qué dibujo es A·B, si A·B = B·A, el neutro, la asociatividad y una ecuación σ₁σ₂·B = σ₂σ₁σ₂.
Tareas para el alumno
- Reconocer dos sumas.
- Decidir si sumar es conmutativo.
- Resolver una ecuación en B₃.
Sala 6 · La trenza que deshace
La inversa es el reflejo de arriba abajo; al sumar A y A⁻¹ la trenza se desenreda como una cremallera. (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ y el orden infinito de σ₁.
Tareas para el alumno
- Escribir tres inversas.
- Elegir (AB)⁻¹.
- Decidir el orden de σ₁.
Sala 7 · Cruces lejanos
σᵢσⱼ = σⱼσᵢ si |i − j| ≥ 2. Puzzles moviendo cruces lejanos hasta una palabra objetivo y preguntas sobre qué generadores conmutan.
Tareas para el alumno
- Resolver dos puzzles de conmutar.
- Decidir tres conmutaciones.
- Ver que ⟨σ₁, σ₃⟩ es abeliano.
Sala 8 · La relación de trenza
σᵢσᵢ₊₁σᵢ = σᵢ₊₁σᵢσᵢ₊₁ animada, sus variantes con inversos y la conjugación: todos los σᵢ son conjugados.
Tareas para el alumno
- Resolver dos puzzles con R3.
- Encontrar otra palabra para σ₂σ₃σ₂.
- Encontrar c con cσ₁c⁻¹ = σ₂.
Sala 9 · Trenzas lado a lado
Poner A y B lado a lado: Bₘ × Bₙ → Bₘ₊ₙ, desplazando los índices de B. Es un homomorfismo inyectivo.
Tareas para el alumno
- Escribir dos palabras de A ⊕ B.
- Reconocer un dibujo.
- Decidir tres propiedades.
Sala 10 · La presentación de Artin
El teorema de Artin y cómo se define un homomorfismo desde una presentación comprobando las relaciones, hacia S₃, S₄ y ℤ.
Tareas para el alumno
- Contar relaciones de B₄ y B₅.
- Decidir si cuatro asignaciones definen homomorfismos.
- Reconocer B₂.
Sala 11 · Deshacer parejas
Por qué importa decidir si dos trenzas son iguales (el problema de la palabra). Puzzles solo con R2 y la unicidad de la reducción libre.
Tareas para el alumno
- Resolver cuatro puzzles con R2.
- Decidir si el orden importa.
- Calcular dos longitudes reducidas.
Sala 12 · El simplificador
Cinco puzzles con R2, conmutar y R3 hasta la palabra más corta, comparados con el récord del simplificador, que se puede ver resolverlo.
Tareas para el alumno
- Resolver cinco puzzles de simplificación.
Sala 13 · ¿Es la trenza trivial?
La acción de Artin sobre el grupo libre con una calculadora que actualiza las imágenes de x₁, …, xₙ. Como la acción es fiel, decide si una trenza es trivial.
Tareas para el alumno
- Calcular dos imágenes.
- Decidir si tres trenzas son triviales.
- Entender qué significa que la acción sea fiel.
Sala 14 · Media vuelta y forma normal
La media vuelta Δ, las trenzas simples y la forma normal de Garside Δᵏ·A₁⋯A_r dibujada en cajas.
Tareas para el alumno
- Reconocer trenzas simples.
- Contar las simples de B₃ y B₄.
- Calcular |Δ₅| y Δσ₁Δ⁻¹.
- Comparar dos parejas de palabras con la forma normal.
Sala 15 · Trenzas puras
Pₙ = ker π, normal y de índice n!. Generadores Aᵢⱼ, P₂ ≅ ℤ y clases laterales como permutaciones.
Tareas para el alumno
- Reconocer trenzas puras.
- Calcular [B₄ : P₄].
- Elegir una trenza de la misma clase lateral.
- Leer qué hebras enlaza Aᵢⱼ.
Sala 16 · Contar cruces con signo
La suma de exponentes es un homomorfismo a ℤ; como todos los σᵢ son conjugados, el abelianizado es ℤ y el conmutador es su núcleo.
Tareas para el alumno
- Calcular dos sumas de exponentes.
- Decidir sobre homomorfismos a ℤ y a ℤ₆.
- Decidir si σ₁σ₂⁻¹ es un producto de conmutadores.
Sala 17 · La vuelta completa
Escena 3D: girar 360° el disco de abajo teje la vuelta completa Δ². Δ² es central, Δ no conmuta con σ₁ y el centro de Bₙ es ⟨Δ²⟩.
Tareas para el alumno
- Calcular la longitud y la suma de exponentes de Δ².
- Decidir si Δ² es pura y si Δ es central.
- Elegir la trenza central.
Sala 18 · Cerrar la trenza
Por qué importan los nudos (ADN, proteínas, física) y su historia. Cerrar una trenza da un nudo o un enlace; las componentes son los ciclos de la permutación. Teorema de Alexander.
Tareas para el alumno
- Contar componentes de tres cierres.
- Elegir el que es un nudo.
- Emparejar trébol, Hopf y ocho con sus trenzas.
Sala 19 · Desenreda el nudo
Los movimientos de Reidemeister en la trenza cerrada, con demostraciones animadas. Cinco nudos que se desenredan con R1, R2, R3, conmutar y girar, y el trébol, que no se deja.
Tareas para el alumno
- Desenredar cinco diagramas.
- Decidir si el trébol se puede desenredar.
Sala 20 · Los movimientos de Markov
Dos trenzas dan el mismo enlace si y solo si se pasa de una a otra conjugando y estabilizando. Parejas decididas por componentes y por el polinomio de Jones.
Tareas para el alumno
- Decidir cinco parejas.
- Estabilizar σ₁³ hasta σ₁³σ₂.
- Reconocer girar como conjugar.
Sala 21 · Número de enlace
lk = la mitad de la suma de los signos de los cruces entre dos componentes. El enlace de Whitehead tiene lk = 0 y aun así está enlazado.
Tareas para el alumno
- Calcular cuatro números de enlace.
- Decidir si el enlace de Whitehead es trivial.
- Explicar por qué lk es invariante.
Sala 22 · Tres colores
Por qué hacen falta invariantes. Tricoloraciones como homomorfismos del grupo del nudo en Δ₃: el trébol y 6₁ se colorean, el ocho no; el trébol tiene 9 y el trivial 3, luego son distintos. 5-coloraciones del ocho.
Tareas para el alumno
- Colorear el trébol y 6₁.
- Decidir si el ocho se colorea.
- Contar coloraciones del trébol y del trivial.
Sala 23 · El polinomio de Jones
El corchete de Kauffman con un ejemplo resuelto, el cálculo guiado del enlace de Hopf, la quiralidad del trébol y un reto final: reconocer tres nudos disfrazados con una calculadora de invariantes.
Tareas para el alumno
- Calcular el corchete del enlace de Hopf paso a paso.
- Comparar el trébol con su espejo.
- Identificar tres nudos.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.