Objetivos didácticos
Seno y coseno se definen desde un punto que gira sobre el círculo de radio 1: cos θ y sin θ son sus coordenadas (x, y). El lab parte de ahí y, en 25 salas, llega al triángulo rectángulo, los ángulos notables, la gráfica como función, la frecuencia y la amplitud, el sonido, la elipse, el ángulo doble y las coordenadas polares. Es un lab de bachillerato, con dibujos que el alumno mueve y retos que se resuelven calculando.
No hay pantallas de explicación aparte: cada sala combina un dibujo interactivo (un punto que se arrastra, deslizadores, una animación) con una o varias preguntas que hay que responder para pasar a la siguiente. Hay preguntas de opción múltiple, respuestas numéricas (con una pista al segundo fallo y la solución al tercero) y dos tests de velocidad con tiempo. Algunos dibujos solo aparecen como ayuda después de un fallo (el punto oculto de la sala 12, el ángulo doble de la sala 21).
Qué se aprende
El lab lleva al alumno de «el seno es una coordenada» a usar seno y coseno como herramienta para ondas, curvas y puntos del plano.
- Definir cos θ y sin θ como coordenadas de un punto del círculo unitario y ver que cos²θ + sin²θ = 1 (sala 1).
- Pasar de grados a radianes y al revés (sala 2).
- Reconocer los catetos de un triángulo rectángulo como sin θ y cos θ, y escalarlos cuando la hipotenusa no es 1 (salas 3-4).
- Conocer los valores de seno y coseno en 0°, 30°, 45°, 60° y 90° y usarlos para calcular lados de triángulos (salas 5-6).
- Saber el signo de seno y coseno en cada cuadrante (sala 7).
- Ver el seno y el coseno como la altura y la anchura de un punto que gira, «desenrolladas» en una gráfica, y que una curva es la otra desplazada un cuarto de vuelta (salas 8-10).
- Usar simetrías (media vuelta, reflejo, cuarto de vuelta) y ángulos de referencia para calcular valores sin calculadora (salas 11-12).
- Leer la gráfica como función: dominio, rango y periodicidad (salas 13-15).
- Entender cómo la frecuencia N comprime la gráfica y cómo la amplitud A escala el rango sin depender de N (salas 16-17).
- Aplicar la onda de seno a un sonido puro, a un dibujo por ordenador y a una elipse (salas 18-20).
- Calcular el signo y el valor de sin(2x) y cos(2x) (salas 21-24).
- Pasar de coordenadas cartesianas a polares y al revés (sala 25).
Ideas matemáticas clave
- El círculo unitario: el punto del círculo de radio 1 con ángulo θ es (cos θ, sin θ), así que cos²θ + sin²θ = 1. El ángulo puede superar una vuelta o ser negativo.
- Radianes: un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio; una vuelta son 2π radianes. Con la regla de tres, 150° = 5π/6 y 3π/2 = 270°.
- El triángulo: con hipotenusa 1, el cateto opuesto es sin θ y el adyacente cos θ; con hipotenusa h, valen h · sin θ y h · cos θ. Por ejemplo, con 30° y hipotenusa 4, el opuesto es 4 · 1/2 = 2.
- Valores notables: sin θ vale √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 en 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, y cos θ los mismos en orden inverso.
- Signos por cuadrante: (+, +), (−, +), (−, −), (+, −) para (cos θ, sin θ) en los cuadrantes I, II, III y IV.
- De la vuelta a la onda: sin t es la altura del punto que gira y cos t su coordenada x; cos θ = sin(θ + π/2).
- Simetrías: sin(x + π) = −sin x, sin(−x) = −sin x, cos(x + π) = −cos x, cos(x + π/2) = −sin x. Con un ángulo de referencia notable y el signo del cuadrante se calculan valores como sin 150° = 1/2 o sin 300° = −√3/2.
- Dominio, rango y periodo: seno y coseno están definidos para todo x, toman valores en [−1, 1] y se repiten cada 2π: sin(x + 2π) = sin x.
- Frecuencia y amplitud: en y = A · sin(Nx), N es el número de periodos en [0, 2π] y A fija el rango [−A, A], que no depende de N.
- Sonido y dibujo: un tono puro es A · sin(2π f t) (f da el tono, A el volumen); un círculo se dibuja uniendo con segmentos los puntos (cx + r · cos t, cy + r · sin t), y con más pasos el polígono se confunde con el círculo; (a · cos t, b · sin t) es una elipse cuando a ≠ b.
- Ángulo doble: sin(2x) = 2 · sin x · cos x y cos(2x) = cos²x − sin²x. Al duplicar el ángulo se puede cambiar de cuadrante, y con él el signo. Con sin x = 2√6/5 se obtiene cos x = 1/5 con sin²x + cos²x = 1, y de ahí sin(2x) = 4√6/25 y cos(2x) = 23/25.
- Coordenadas polares: x = r · cos θ, y = r · sin θ. El punto (3√3, −3) tiene r = 6 y θ = 330°; el círculo unitario es el caso r = 1.
Nivel: bachillerato. Conviene haber visto el teorema de Pitágoras y las razones trigonométricas básicas, aunque la sala 3 las recuerda desde el círculo. En clase funcionan bien para proyectar la sala 1 (arrastrar el punto y pedir que anticipen los signos), la sala 8 (pausar la animación y preguntar) y la sala 16 (predecir cuántos periodos habrá antes de cambiar N). La sala 18 necesita sonido en el aula.
Contenidos por salas
Sala 1 · Seno y coseno nacen de un punto que gira
Un círculo de radio 1 con un punto que el alumno arrastra. Cos θ y sin θ se definen como las coordenadas (x, y) del punto. En pantalla se ve el ángulo θ (que sigue creciendo al dar más de una vuelta, sin saltos), los valores de cos θ y sin θ, sus cuadrados y la suma cos²θ + sin²θ, que siempre vale 1: es la identidad pitagórica vista como «el punto está a distancia 1 del centro».
Tareas para el alumno
- Arrastrar el punto por el círculo y observar cómo cambian cos θ, sin θ y la suma de sus cuadrados.
- Elegir cuál de cuatro parejas (cos θ, sin θ) puede ser un punto real del círculo unitario: (0,6 ; 0,8).
Sala 2 · Grados y radianes
Un círculo con un deslizador de ángulo que muestra a la vez el valor en grados y en radianes, y el arco recorrido. Debajo, la regla de tres en las dos direcciones (grados a radianes y radianes a grados). Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio, y una vuelta son 2π radianes. Termina con un test de velocidad de conversiones.
Tareas para el alumno
- Mover el deslizador y comparar las dos medidas del mismo ángulo.
- Convertir 120° a radianes (2π/3).
- Convertir 5π/4 rad a grados (225°).
- Test de velocidad: 10 conversiones entre grados y radianes con los ángulos 30°, 45°, 60°, 90°, 180° y 270°, en las dos direcciones, con cuatro opciones y un tiempo que se acorta al acertar y se alarga al fallar. Las falladas vuelven al final de la cola, así que hay que acertar las 10; si la puntuación final es negativa, se repite el test.
Sala 3 · El triángulo que ya conocías
Se traza la perpendicular desde el punto del círculo hasta el eje x y aparece un triángulo rectángulo de hipotenusa 1. El alumno mueve el ángulo con un deslizador y ve que sus catetos son sin θ (el opuesto) y cos θ (el adyacente): la trigonometría del triángulo es un caso del círculo.
Tareas para el alumno
- Mover el ángulo entre 5° y 85° y observar el triángulo.
- Decir qué segmento del triángulo representa sin θ (el cateto opuesto).
- Decir qué segmento representa cos θ (el cateto adyacente).
Sala 4 · Cuando el triángulo crece: la hipotenusa ya no es 1
El mismo triángulo con dos deslizadores, ángulo e hipotenusa (de 1 a 5). Los catetos se leen en el dibujo y siguen la fórmula cateto opuesto = hipotenusa × sin θ, cateto adyacente = hipotenusa × cos θ. Los dos retos usan números distintos de los del dibujo, así que hay que calcular con la fórmula y no leer la figura.
Tareas para el alumno
- Mover ángulo e hipotenusa y comprobar la fórmula de los catetos.
- Calcular el cateto opuesto con ángulo 30° e hipotenusa 4 (2).
- Calcular sin θ en un triángulo rectángulo con cateto opuesto 3 e hipotenusa 5 (0,6).
Sala 5 · Test de velocidad: seno y coseno
Una tabla con sin θ y cos θ en 0°, 30°, 45°, 60° y 90° (0, 1/2, √2/2, √3/2, 1) y la observación de que el seno crece y el coseno decrece pero recorren los mismos valores. Después, dos fases de 12 preguntas, primero con el seno y luego con el coseno: aparece «sin(θ) = ?» y hay que elegir el valor antes de que se agote el tiempo. La tabla se ve en las primeras respuestas acertadas y luego desaparece. Acertar acorta el tiempo y fallar lo alarga; al fallar se muestra parpadeando la respuesta correcta y la pregunta vuelve al final de la cola, de modo que cada fase termina cuando las 12 están acertadas. Si la puntuación de una fase es negativa, se repite.
Tareas para el alumno
- Leer la tabla de valores notables.
- Fase del seno: acertar 12 preguntas del tipo sin(θ) = ? con θ entre 0° y 90°.
- Fase del coseno: acertar 12 preguntas del tipo cos(θ) = ?.
Sala 6 · Los ángulos que merece la pena memorizar
La tabla √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2 que da el seno (y, al revés, el coseno) en 0°, 30°, 45°, 60° y 90°. Un ejemplo resuelto aparece paso a paso con una pausa entre pasos. Después, dos retos con triángulo dibujado, cuyos valores se calculan con la tabla y dan resultado entero.
Tareas para el alumno
- Seguir el ejemplo resuelto.
- Con ángulo 30° y cateto adyacente √27, calcular la hipotenusa (6).
- Con ángulo 45° e hipotenusa 6√2, calcular el cateto opuesto (6).
Sala 7 · El signo depende de dónde estés
Un círculo dividido en cuatro cuadrantes coloreados, con un punto arrastrable. Junto al punto se lee la pareja (cos θ, sin θ) y el cuadrante activo se resalta. El alumno descubre la combinación de signos de cada cuadrante moviendo el punto.
Tareas para el alumno
- Arrastrar el punto por los cuatro cuadrantes y fijarse en los signos de cos θ y sin θ.
- Decir el signo de (cos θ, sin θ) en el cuadrante III (−, −).
- Decir el signo en el cuadrante II (−, +).
- Decir el signo en el cuadrante IV (+, −).
Sala 8 · La altura ES el seno
Un círculo y, a su lado, una gráfica que se va dibujando mientras el punto gira: la altura del punto en cada instante se traslada a la gráfica con una guía discontinua. El seno deja de ser un número abstracto y pasa a ser la altura del punto que gira, «desenrollada» en el tiempo.
Tareas para el alumno
- Observar cómo la altura del punto da la curva del seno.
- Pausar la animación en un instante cualquiera y decir si la altura (sin t) es positiva, negativa o casi cero.
Sala 9 · La misma idea con la anchura
La misma escena, ahora con la coordenada x del punto: se resalta el segmento sobre el eje x y se traslada a la gráfica. El alumno compara las dos animaciones (seno y coseno) y ve que la curva del coseno va por delante de la del seno.
Tareas para el alumno
- Observar cómo el valor de x del punto da la curva del coseno.
- Decir si el coseno crece o decrece en el primer cuadrante, de 0° a 90° (decrece).
Sala 10 · Seno y coseno son la misma onda, desfasada
Las curvas del seno y del coseno dibujadas juntas, con un marcador que recorre las dos a la vez. Se ve que una es la otra desplazada un cuarto de vuelta: cos θ = sin(θ + π/2).
Tareas para el alumno
- Seguir el marcador sobre las dos curvas.
- Elegir qué relación es cierta entre cos θ = sin(θ + π), cos θ = sin(θ + π/2) y cos θ = sin(π − θ) (la segunda).
Sala 11 · Media vuelta, vuelta al revés
Un punto con ángulo θ y un segundo punto que se obtiene girando media vuelta (+π), un cuarto de vuelta (+π/2) o reflejando respecto al eje x (−θ). Con ello el alumno ve cómo cambian las coordenadas y deduce las simetrías de seno y coseno. Cuando falla un reto, el dibujo muestra los dos puntos y marca la coordenada correspondiente en cada uno.
Tareas para el alumno
- Mover θ y elegir entre media vuelta, cuarto de vuelta y reflejo para ver el segundo punto.
- Si sin x = 0,6, calcular sin(x + π) (−0,6).
- Si sin x = 0,6, calcular sin(−x) (−0,6).
- Si cos x = 0,6, calcular cos(x + π) (−0,6).
- Si sin x = 0,6, calcular cos(x + π/2) (−0,6).
Sala 12 · Adivina antes de mirar
El círculo aparece sin el punto. El alumno debe anticipar el valor de sin θ para ángulos que se reducen a uno notable (150°, 210°, 300°, 120°) combinando el ángulo de referencia y el signo del cuadrante. Las seis opciones son siempre las mismas (1/2, √2/2, √3/2 y sus negativos), de modo que no se puede resolver por eliminación. Al responder (o al fallar) se dibuja el punto y su ángulo de referencia.
Tareas para el alumno
- Elegir sin(150°), sin(210°), sin(300°) y sin(120°) entre las seis opciones, sin ver el punto.
Sala 13 · Leer la gráfica sin ver el círculo
Dos dibujos lado a lado: la gráfica de sin x con su eje marcado en múltiplos de π, y el círculo unitario. Al tocar o arrastrar sobre la gráfica, el punto correspondiente aparece en las dos. Cada cresta, valle y cero de la gráfica es una posición concreta del punto en el círculo.
Tareas para el alumno
- Explorar la gráfica y ver dónde cae el punto en el círculo.
- Para x = π, 3π/2, 3π/4 y 7π/6, decir en qué zona del círculo está el punto (izquierda, abajo, arriba a la izquierda, abajo a la izquierda). Al acertar se marca el punto en la gráfica y en el círculo.
Sala 14 · ¿Hasta dónde llega la función?
La gráfica del seno dentro de una banda que marca el rango [−1, 1]. El dominio es todo ℝ porque el punto puede girar sin fin, y el rango está acotado porque el punto está siempre a distancia 1 del centro.
Tareas para el alumno
- Decir si existe algún x con sin x = 1,5 (no, porque el punto nunca se aleja más de 1 del centro).
- Dar el valor máximo de cos x (1).
- Dar el valor mínimo de cos x (−1).
Sala 15 · Seno y coseno son funciones periódicas
La gráfica del seno con una ventana sombreada de una vuelta completa (2π) que se puede desplazar 0, 1 o 2 vueltas con un deslizador. Los valores se repiten cada 2π: sin(x + 2π) = sin x y cos(x + 2π) = cos x.
Tareas para el alumno
- Desplazar la ventana una o dos vueltas y comparar la gráfica.
- Si sin x = 0,3, calcular sin(x + 2π) (0,3).
- Si sin x = 0,3, calcular sin(x + 4π) (0,3).
- Si sin x = 0,3, calcular sin(x − 2π) (0,3).
Sala 16 · Girar más rápido: sin(Nx)
Un círculo animado en el que el punto gira con ángulo N·t, y a su derecha dos gráficas apiladas con un punto trazador que avanza a la misma velocidad horizontal en las dos: arriba sin x (o cos x) como referencia y abajo sin(Nx). Un deslizador cambia N de 1 a 6 y un botón alterna entre seno y coseno. Se ve que multiplicar el ángulo por N hace que el punto dé N vueltas en el tiempo en que antes daba una, y la gráfica se comprime N veces.
Tareas para el alumno
- Cambiar N y comparar las dos gráficas.
- Decir cuántos periodos completa sin(3x) en [0, 2π] (3).
- Decir cuántos periodos completa cos(5x) en [0, 2π] (5).
Sala 17 · El rango no depende de la frecuencia
La gráfica de y = A · sin(Nx), con la fórmula actualizada en vivo y la banda del rango. Dos deslizadores: amplitud A (de 0,5 a 4) y N (de 1 a 5). Cambiar N no modifica la altura de la onda, y cambiar A escala el rango a [−A, A].
Tareas para el alumno
- Mover A y N y ver qué cambia en la gráfica y en la fórmula.
- Dar el rango de 3 sin(5x) ([−3, 3]).
- Dar el rango de 0,5 cos(2x) ([−0,5, 0,5]).
Sala 18 · Un sonido puro es una onda de seno
Un tono puro es A · sin(2π f t): la frecuencia f fija el tono y la amplitud A el volumen. Dos deslizadores (f entre 200 y 800 Hz, A entre 0,2 y 1,4) y un botón que reproduce el tono con el audio del navegador; la onda dibujada refleja los dos valores en tiempo real. Dos botones, tono A y tono B, reproducen dos tonos de 300 y 600 Hz en orden aleatorio y muestran su onda con la frecuencia real.
Tareas para el alumno
- Mover frecuencia y amplitud, escuchar el tono y ver la onda.
- Escuchar el tono A y el tono B y decir cuál tiene mayor frecuencia (suena más agudo).
Sala 19 · Cómo dibuja un círculo el ordenador
Un círculo se dibuja calculando muchos puntos (cx + r·cos t, cy + r·sin t) y uniéndolos con segmentos: es un bucle que llama a seno y coseno. Un deslizador cambia el número de pasos (de 3 a 64) y el polígono se acerca al círculo; se muestra además el fragmento de código que lo dibuja.
Tareas para el alumno
- Aumentar el número de pasos y ver cómo el polígono se aproxima al círculo.
- Elegir con cuántos pasos (6, 12 o 60) el polígono ya no se distingue de un círculo liso (60).
Sala 20 · Cuando el círculo se estira: la elipse
La curva (a·cos t, b·sin t) es un círculo si a = b y una elipse si a ≠ b. El alumno ajusta dos deslizadores, a y b (de 0,5 a 3), que empiezan en a = 0,5 y b = 1,4, y compara su curva con una elipse objetivo punteada.
Tareas para el alumno
- Ajustar a y b hasta que la curva coincida con la elipse objetivo (a = 2,5, b = 1, con un margen de 0,15). El reto se cierra al conseguirlo.
Sala 21 · El signo de sin(2x)
Un círculo con dos puntos, el ángulo x y su doble 2x, y la fórmula sin(2x) = 2 · sin x · cos x. Duplicar el ángulo puede cambiarlo de cuadrante y, con él, el signo. Un deslizador permite explorar x de 0° a 170°. En los tres retos el doble 2x cruza de cuadrante, así que el signo no se puede deducir mirando solo x. Si falla, el dibujo se coloca en el ángulo de la pregunta.
Tareas para el alumno
- Mover x y observar en qué cuadrante cae 2x.
- Decir el signo de sin(2x) para x = 100° (negativo), x = 200° (positivo) y x = 300° (negativo).
Sala 22 · Calcula sin(2x)
Con la fórmula sin(2x) = 2 · sin x · cos x, el alumno debe calcular sin(2x) a partir de sin x, que no es un valor notable. Cada caso tiene dos pasos: primero hallar cos x con sin²x + cos²x = 1 (respuesta numérica) y después elegir sin(2x) entre cinco opciones parecidas (el mismo radical con otro numerador o signo, o el resultado de aplicar por error la fórmula del coseno).
Tareas para el alumno
- Con sin x = 2√6/5, hallar cos x (1/5) y elegir sin(2x) (4√6/25).
- Con sin x = √5/3, hallar cos x (2/3) y elegir sin(2x) (4√5/9).
Sala 23 · El signo de cos(2x)
Igual que la sala 21, con la fórmula cos(2x) = cos²x − sin²x: se reduce 2x a su cuadrante y se recuerda dónde el coseno es positivo o negativo. Hay un círculo con x y 2x y un deslizador para explorar.
Tareas para el alumno
- Decir el signo de cos(2x) para x = 80° (negativo), x = 200° (positivo) y x = 280° (negativo).
Sala 24 · Calcula cos(2x)
La misma mecánica que la sala 22, ahora con cos(2x) = cos²x − sin²x. Se da cos x, se halla sin x con la identidad pitagórica y se elige cos(2x) entre cinco opciones. El resultado sale racional, sin radical, porque al elevar al cuadrado desaparece la raíz.
Tareas para el alumno
- Con cos x = 2√6/5, hallar sin x (1/5) y elegir cos(2x) (23/25).
- Con cos x = √5/3, hallar sin x (2/3) y elegir cos(2x) (1/9).
Sala 25 · Otra forma de dar un punto: coordenadas polares
Un punto dado por (r, θ), con dos deslizadores (r entre 0,5 y 6 y θ de 0° a 350°), círculos concéntricos como guía y una lectura en vivo (r, θ) → (x, y). Las relaciones son x = r·cos θ e y = r·sin θ: el círculo unitario era el caso r = 1. Cierra el lab conectando lo anterior.
Tareas para el alumno
- Mover r y θ y ver cómo cambian x e y.
- Elegir la expresión de la coordenada x (r cos θ) y la de la coordenada y (r sin θ).
- Para el punto cartesiano (3√3, −3), hallar r (6).
- Para ese mismo punto, hallar el ángulo θ (330°).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.