Lab de primaria (8-12 años), muy visual: todo se hace pintando casillas, triángulos, celdas de un panal, números y países con un clic. Cada sala pone una regla de colorear y pide cumplirla, contar de cuántas maneras se puede o decidir si se puede.

El hilo del lab es la idea de vecina: dos casillas (o dos países) son vecinas si comparten un lado, no si solo se tocan en un punto. Con esa idea se construyen reglas cada vez más exigentes, se colorean mapas con cuatro colores y, al final, se descubre que un buen coloreado sirve para demostrar que algo es imposible, aunque el problema no hable de colores.

Qué se aprende

• Reconocer vecinas en una cuadrícula, en un triángulo partido en triangulitos y en un panal, y distinguir «compartir un lado» de «tocarse en un punto».
• Cumplir reglas sobre las vecinas (distinto color, «tres y una», «ninguna toca a otra»), y ver que una regla puede dejar muchas soluciones, dos o una sola.
• Contar de forma ordenada (los cuadrados escondidos de un 4 × 4: 9 de 2 × 2, 4 de 3 × 3, 30 en total).
• Buscar un máximo y justificarlo: con 12 colores y dos casillas iguales en cada 2 × 2, el máximo es 11, y hay una razón por la que no se puede más.
• Deducir colores obligados (números de colores: el producto de dos colores distintos lleva el tercero) y reconocer un choque que demuestra que un reto no tiene solución.
• Colorear mapas con pocos colores; entender por qué a veces bastan 2 o 3 y a veces hacen falta 4 (la flor de 5 pétalos), y conocer el teorema de los cuatro colores.
• Usar el coloreado en ajedrez como herramienta: los escarabajos del 5 × 5 (13 contra 12) y los paseos por todas las casillas que no pueden empezar o terminar donde se pide.

Ideas matemáticas clave, por bloque

A · Casillas vecinas. Con dos colores y «vecinas de distinto color» solo hay dos coloreados: el ajedrez y su contrario (en el triángulo, los que apuntan hacia arriba de un color y los que apuntan hacia abajo del otro). Una casilla del borde o de la esquina tiene menos vecinas, y eso decide muchas reglas: en «naranja con 3 vecinas azules y azul con 1 vecina naranja» ninguna naranja puede ir en una esquina; en el 4 × 4 hay dos soluciones, una reflejo de la otra, y en el triángulo de 16, una sola. Para demostrar un máximo hacen falta un ejemplo y una razón: nueve cuadrados 2 × 2, cada pareja igual sirve como mucho a dos, así que hacen falta 5 repeticiones y quedan 16 − 5 = 11 colores.

B · Números de colores. La regla hace que los colores se «contagien»: conocidos 2 y 3, el 6 queda obligado, y de ahí el 12, el 18… A veces hay que razonar al revés (si el 9 no fuera azul, el 18 no podría serlo). Con {2, 3, 4, 6, 12, 24} lo obligado choca: no hace falta probar todas las maneras para saber que no hay ninguna.

C · Mapas. Vecinos = frontera común. La pizza de 4 o de 6 trozos se colorea con 2 colores; la de 5, no. La isla se colorea con 3. La flor de 5 pétalos necesita 4: el centro gasta un color y los pétalos, que forman una vuelta impar, no pueden alternar solo dos. El mapa difícil de 20 países también se colorea con 4, como cualquier mapa (teorema de los cuatro colores, demostrado en 1976 con ayuda de un ordenador).

D · Colorear para demostrar. El ajedrez no está en el enunciado: lo pintamos nosotros. Cada salto a una vecina cambia de color, así que 13 escarabajos no caben en 12 casillas, un paseo por las 25 casillas del 5 × 5 tiene que empezar en el color que tiene 13, y en el 4 × 4 no se puede ir por todas de una esquina a la opuesta. Cierra un sudoku de colores.

Números comprobados por fuerza bruta en scripts/verify_colorear.mjs.