Objetivos didácticos
Un lab universitario sobre la segunda mitad del tema de continuidad y convergencia: desde la definición ε-δ hasta la convergencia uniforme, pasando por la caracterización topológica. El material es el habitual de un primer curso de topología; lo que aporta el lab es que cada definición se manipula antes de escribirse.
El lab abre sin una sola letra griega: la sala 1 discute qué queremos decir al llamar continua a una función, descarta lo del lápiz y deja la idea que sí se generaliza — si a y b están cerca, f(a) y f(b) tienen que estarlo —, medida sobre dos funciones: una corriente y otra con un salto.
A partir de ahí, el hilo conductor es un reparto de papeles que se mantiene en las 21 salas y también en los colores: ε lo exige un adversario (siempre ámbar en pantalla) y δ lo elegimos nosotros (siempre verde). La sala 2 es literalmente un duelo: el adversario baja ε tres veces y el alumno tiene que responder con un δ que aguante. Cuando en la sala 3 aparece la fórmula con sus cuantificadores, el orden ∀ε ∃δ ya no es una convención arbitraria que memorizar.
El lab está pensado para acompañar la explicación, no para sustituirla. Las demostraciones se dan enteras; lo que cambia es que el alumno las ve construirse antes de leerlas.
Qué se aprende
- Responder con un δ a un ε exigido, en tres funciones de dificultad creciente: una recta (δ = ε/3, el mismo en todas partes), una parábola (δ depende también del punto) y 1/x (δ se desploma al acercarse al borde del dominio).
- Distinguir «continua en cada punto» de «uniformemente continua», viendo la gráfica de δ(x₀) desplomarse.
- Negar la definición pieza a pieza y saber qué hay que exhibir para afirmar que una función no es continua: un ε₀ testigo contra el que ningún δ sirve.
- Comprobar que la continuidad no es propiedad de la fórmula sino del par de métricas, y que ni siquiera es simétrica: con f(x) = x y la métrica circular, una dirección es continua y la otra no.
- Reconocer la equivalencia entre continuidad, conservación de límites de sucesiones y preimágenes de abiertos, y saber cuál de las tres sobrevive sin distancia.
- Medir distancias entre funciones con d₁ y d∞, y entender que «converger» depende de la métrica elegida tanto como «ser continua».
Ideas matemáticas clave
- El orden de los cuantificadores es el contenido de la definición. Primero el adversario elige ε, después nosotros δ; por eso δ puede depender de ε, y en general también del punto. Invertir el orden da la continuidad uniforme, que es otra cosa.
- Negar una definición es cambiar quién juega primero. Para la continuidad respondemos a cualquier ε; para la discontinuidad exhibimos un único ε₀ contra el que todo δ falla. El lab construye esa frase pieza a pieza en vez de darla hecha.
- La métrica circular sobre [0;1) —
d(x,y) = min(|x−y|, 1−|x−y|)— convierte el intervalo en una circunferencia y da el contraejemplo central: la identidad de circular a euclídea no es continua en 0, y no lo es para ningún ε < 1. Al revés sí lo es, con δ = ε. Pegar es continuo; cortar no. - La caracterización por preimágenes no menciona puntos, ni ε, ni δ, ni distancias; por eso puede tomarse como definición donde no hay métrica. Con imágenes sería falsa: x² es continua y manda el abierto (−1;1) en [0;1). La asimetría tiene un motivo: f⁻¹ respeta uniones, intersecciones y complementarios; f no.
- En el recíproco del teorema de continuidad y convergencia es donde se usa la métrica, y en un sitio muy concreto: al elegir δ = 1/n, es decir, al disponer de una familia numerable de entornos encajados. Sin ella la equivalencia puede fallar y hacen falta redes o filtros.
- Un mismo conjunto de funciones admite métricas que dan veredictos opuestos: xⁿ converge con d₁ y no converge con d∞. La pregunta útil no es «¿converge?» sino «¿qué métrica conserva lo que me importa?». Con d∞ se conservan la continuidad y la integral; con la convergencia puntual, ninguna de las dos.
Notas para el aula
- El lab cubre la segunda mitad del tema (desde «Continuidad»). Da por sabidos bolas, abiertos, cerrados y frontera, que son la primera mitad.
- Las salas 1, 2, 9, 14 y 21 son las que mejor funcionan proyectadas. La 1 es una discusión de clase: conviene dejar que salgan las respuestas malas (el lápiz, la fórmula sin trozos) antes de tocar nada. La 2 admite jugarse en gran grupo: el profesor hace de adversario y baja ε hasta que la clase protesta. La 9 es el contraejemplo de la métrica circular, y suele ser el momento en que se entiende que la continuidad no vive en la fórmula. La 14 construye el recíproco paso a paso y conviene pararla en cada paso. La 21 cierra con el truco de los tres tercios.
- La sala 5 (la parábola) es la que más cuesta: el alumno acepta que δ dependa de ε mucho antes que aceptar que dependa del punto. Merece la pena detenerse en la gráfica de δ(x₀) antes de pasar a la 6.
- El bloque E (salas 18-21) puede darse por separado, en la sesión de espacios de funciones, sin haber hecho el resto ese mismo día.
Contenidos por salas
Sala 1 · Cerca va a parar cerca
La sala de apertura, sin una sola letra griega. Se discute qué queremos decir al llamar continua a una función: lo del lápiz es buena intuición pero no sirve de definición (no se dibuja una función de ℝ² en ℝ³, ni una definida solo sobre los racionales, ni una cuyos puntos son funciones — y las tres salen en este lab), y queda la idea que sí se generaliza: si a y b están cerca, f(a) y f(b) tienen que estarlo. El alumno fija a en 0, mueve b y lee a la vez las dos distancias — la de los argumentos abajo en azul, la de las imágenes a la izquierda en ámbar — en dos funciones: una curva corriente, donde las dos se van a cero, y una con un salto, donde la de abajo se va a cero y la de la izquierda no se mueve. Cierra señalando el cabo suelto: «tan cerca como se quiera» y «suficientemente cerca» son maneras de hablar, no números, y convertirlas en números es la sala siguiente.
Tareas para el alumno
- Comparar las dos distancias en la curva y en la función con salto, acercando b a 0 por la izquierda.
- Decidir qué le pasa a la distancia entre las imágenes al acercar b al punto a.
- Decidir si con el salto se pueden acercar las imágenes a menos de 0,5.
- Elegir cuál de cuatro frases sirve como definición de continuidad.
Sala 2 · El juego de ε y δ
La definición de continuidad jugada como un duelo antes de escribirse. El laboratorio hace de adversario y exige un ε (el pasillo horizontal ámbar); el alumno responde con un δ (la franja vertical verde) moviendo un slider hasta que el trozo de gráfica que cae dentro de la franja no se sale del pasillo. Tres rondas con ε cada vez menor. El reparto de colores —ámbar lo que se exige, verde lo que elegimos— se mantiene en las 21 salas.
Tareas para el alumno
- Superar las tres rondas encontrando un δ válido para cada ε.
- Responder quién elige primero y por qué el orden importa.
Sala 3 · La definición, por fin
Lo jugado en la sala anterior, ahora escrito con símbolos y dibujado con las dos bolas: el espacio de salida con la bola δ y el de llegada con la bola ε, unidos por la flecha f. Una animación lleva la bola verde entera dentro de la ámbar, y una segunda variante muestra qué se ve cuando el δ elegido es demasiado grande.
Tareas para el alumno
- Identificar cuál de cuatro fórmulas es la definición correcta.
- Explicar qué significa que la bola verde entera quepa dentro de la ámbar.
Sala 4 · Una recta: el mismo δ en todas partes
Primer cálculo explícito, con el ejemplo resuelto delante: para f(x)=3x se tiene |f(x)−f(x₀)| = 3|x−x₀|, luego basta δ = ε/3. Después el alumno mueve el punto x₀ a lo largo de la recta y comprueba que su respuesta sigue valiendo: la pendiente es la misma en todas partes.
Tareas para el alumno
- Calcular el mayor δ que sirve para dos valores distintos de ε.
- Determinar de qué depende el δ en este caso.
Sala 5 · Una parábola: δ mira también dónde estás
Una sola gráfica de y=x², un solo ε y una lupa con ampliación fija; al mover x₀ con el slider, el sistema calcula solo el mayor δ que sirve y lo muestra junto al ε, que no se mueve. Entre x₀ = 1 y x₀ = 10 el δ pasa de 0,227 a 0,025, y la franja verde de la lupa se estrecha hasta ser un hilo. Se da después la acotación del tema —domar |x+x₀| exigiendo primero |x−x₀|<1, de donde δ = min(1, ε/(1+2|x₀|))— y se cierra con la gráfica de δ(x₀) hasta x₀ = 10, que se desploma: continua en cada punto, pero no uniformemente continua.
Tareas para el alumno
- Comparar el mayor δ que sirve en un punto cercano al origen y en uno lejano.
- Decidir qué le pasa a ese δ cuando x₀ se aleja, con el mismo ε.
- Aplicar la fórmula δ = min(1, ε/(1+2|x₀|)) a un caso concreto.
Sala 6 · 1/x y el punto que no está
El punto x₀ se acerca al origen y la lectura del mayor δ válido se desploma en pantalla. La acotación se explica entera y por partes: el problema es que en |x−x₀|/(|x||x₀|) aparece la propia x, y δ hay que darlo antes de saber qué x prueba el adversario, así que primero se impide que x se acerque al 0 (si |x−x₀| < x₀/2 entonces |x| > x₀/2 y la diferencia es < 2|x−x₀|/x₀², que ya solo depende de x₀) y después se aprieta con ε. De ahí δ = min(x₀/2, εx₀²/2), y se ve con dos ejemplos numéricos cuál de los dos manda: con x₀ = 3 y ε = 0,1 manda el segundo, y con ε = 1 manda el primero. La sala se juega en la pregunta de si 1/x es discontinua en 0: no lo es, porque 0 no pertenece al dominio y no se puede ser discontinuo donde no se está definido.
Tareas para el alumno
- Observar cómo cambia el mayor δ válido al acercar el punto al origen.
- Calcular el δ que da la fórmula para un ε y un x₀ concretos.
- Decidir qué ocurre exactamente en x = 0.
Sala 7 · Negar la definición
La negación se construye pieza a pieza: ∀ε pasa a ∃ε₀, ∃δ pasa a ∀δ, y la implicación conserva la hipótesis y niega la conclusión. Cada acierto va escribiendo la frase completa en pantalla. Cuando está terminada, se ve actuando sobre la función escalón con ε₀ = 1/2 fijo: por pequeño que sea el δ, siempre hay un punto testigo cuya imagen se escapa.
Tareas para el alumno
- Construir las tres piezas de la negación.
- Comprobar sobre el escalón que ningún δ funciona.
- Determinar el mayor ε₀ que sirve de testigo en un salto de altura 1.
Sala 8 · Enrollar el intervalo
Una animación curva el segmento [0;1) hasta cerrarlo en circunferencia, y los puntos 0,05 y 0,95 —lejísimos en la recta— quedan vecinos. Después, un explorador con dos puntos móviles muestra a la vez |a−b|, 1−|a−b| y el mínimo de los dos, con el arco corto resaltado. Cierra con la M-40: yendo en sentido horario, la salida anterior a la 1 es la 57.
Tareas para el alumno
- Ver el enrollado y localizar qué puntos quedan vecinos.
- Calcular tres distancias circulares, una de ellas con el camino largo como trampa.
Sala 9 · La identidad que se rompe
El dibujo del tema, ahora interactivo: a la izquierda la circunferencia (el origen, con la métrica circular) y a la derecha el intervalo (el destino, con la euclídea). Un solo slider mueve el punto verde en los dos a la vez, y debajo se leen las dos distancias al 0: con x = 0,98 el origen marca 0,020 y el destino 0,980. El slider recorre justo la zona que importa, de 0,6 a casi 1: al arrastrarlo, el arco verde del origen se encoge mientras el segmento rojo del destino crece, y el punto de llegada se pinta en rojo en cuanto se sale de la bola ε = 0,5, que está dibujada desde el principio. Sin animaciones: las tres preguntas se contestan sobre ese mismo dibujo, que no se borra.
Tareas para el alumno
- Mover el punto verde y comparar las dos distancias al 0, sobre todo por encima de x = 0,9.
- Decidir qué hace esta identidad con los puntos cercanos.
- Localizar el único punto en el que falla la continuidad y para qué valores de ε.
Sala 10 · Pegar es continuo, cortar no
La misma fórmula con las métricas intercambiadas, y el dibujo de la sala anterior dado la vuelta: ahora el intervalo (euclídeo) es el origen y va a la izquierda, y la circunferencia (circular) es el destino y va a la derecha. Dos puntos móviles, a y b, viven a la vez en los dos espacios: a la izquierda su distancia es el trozo de recta azul, a la derecha el arco corto ámbar, que nunca sale más largo. Dos barras comparativas muestran que la distancia circular nunca supera a la euclídea, y el alumno puede buscar un contraejemplo todo lo que quiera: no existe, y por eso δ = ε vale siempre. La conclusión es que la continuidad no es propiedad de la fórmula sino del par de métricas, y ni siquiera es simétrica.
Tareas para el alumno
- Buscar una pareja de puntos donde la distancia circular supere a la euclídea.
- Explicar por qué δ = ε sirve en esta dirección.
- Marcar las afirmaciones correctas sobre de qué depende la continuidad.
Sala 11 · Del círculo al círculo
Métrica circular en los dos lados. Un banco de pruebas con dos circunferencias lado a lado: el alumno elige una función candidata y ve recorrer el punto de salida y su imagen. Hay un punto rojo fijo en x = 0,01, pegadito al punto de pegado, y el verde da una vuelta entera empezando por el lado opuesto, despacio. Se dibujan y se leen a la vez las dos distancias al rojo: el arco azul en la salida y el ámbar en la llegada. Al final del recorrido el azul es casi nada en las cuatro candidatas; el ámbar también en rotación, reflexión y duplicación, pero en f(x)=x/2 se queda en 0,49 — manda el 0 al 0 y los vecinos del 0 por el otro lado cerca de 0,5. El laboratorio no dice cuál se rompe: lo dicen los dos números.
Tareas para el alumno
- Probar las cuatro candidatas en el banco de pruebas.
- Marcar todas las que son continuas.
Sala 12 · Una sucesión y sus bolas
La definición de límite leída como lo que es: fuera de cada bola quedan como mucho finitos términos. Sobre una recta real con los términos numerados, el alumno aprieta el radio ε y ve cuántos quedan fuera y qué N basta tomar. Cierra con la unicidad del límite: con ε = d(a,b)/2 las dos bolas son disjuntas y no pueden contener ambas casi todos los términos.
Tareas para el alumno
- Contar cuántos términos quedan fuera de la bola para un ε dado.
- Justificar por qué el límite de una sucesión es único.
Sala 13 · Si es continua, conserva los límites
La dirección fácil del teorema, animada en los dos espacios: los términos van entrando en la bola verde a partir de cierto N y sus imágenes quedan atrapadas en la ámbar. Después el alumno reconstruye el orden del argumento, que es lo único que hay que saber reproducir: fijar ε, obtener δ de la continuidad, obtener N de la convergencia, concluir.
Tareas para el alumno
- Ver cómo la cola de la sucesión arrastra sus imágenes dentro de la bola ámbar.
- Ordenar los cuatro pasos de la demostración.
Sala 14 · El recíproco, paso a paso
La demostración por contrarrecíproco, construida un paso cada vez sobre el diagrama de los dos espacios. Se supone que f no es continua, la negación da un ε₀ malo, y aplicándola con δ = 1, 1/2, 1/3, … van apareciendo los puntos xₙ dentro de bolas verdes cada vez más pequeñas mientras sus imágenes se agolpan fuera de la bola ámbar. La sucesión converge a x y sus imágenes no convergen a f(x): contradicción. Es la sala que más conviene parar en cada paso.
Tareas para el alumno
- Seguir la construcción paso a paso y volver a verla.
- Reconstruir el orden de los pasos.
- Identificar dónde se ha usado que el espacio es métrico.
Sala 15 · Continuidad sin distancias
La caracterización que no menciona puntos, ni ε, ni δ, ni distancias. El alumno arrastra un abierto U por el eje de llegada y ve su preimagen dibujada en el de salida: con una función continua siempre sale abierta; con el escalón, colocando U alrededor del valor de arriba, la preimagen pasa a contener su propio punto frontera y deja de serlo. Cierra con la versión dual para cerrados.
Tareas para el alumno
- Mover U con las dos funciones y observar la preimagen.
- Colocar U de modo que la preimagen deje de ser abierta.
- Explicar por qué eso demuestra que el escalón no es continuo.
Sala 16 · Preimagen sí, imagen no
Por qué la caracterización habla de preimágenes y no puede hablar de imágenes: x² es continua y manda el abierto (−1;1) en [0;1), que no lo es. Un punto recorre el intervalo de salida y su imagen rebota en el 0, que es justo el extremo que sí se alcanza. El motivo de fondo: f⁻¹ respeta uniones, intersecciones y complementarios; f no.
Tareas para el alumno
- Determinar cuál es la imagen del intervalo abierto (−1;1) por x².
- Explicar por qué la caracterización usa preimágenes.
Sala 17 · Encadenar dos continuas
Tres espacios y dos flechas. Un abierto W del tercer espacio se persigue hacia atrás: g⁻¹(W) en el segundo, f⁻¹(g⁻¹(W)) en el primero, y los tres son abiertos. La demostración topológica ocupa dos líneas; se muestra al lado la versión ε-δ del mismo resultado, con su η intermedio, para que se vea la diferencia de longitud.
Tareas para el alumno
- Seguir la persecución del abierto hacia atrás.
- Identificar a qué es igual (g∘f)⁻¹(W).
- Ordenar las dos líneas de la demostración topológica.
Sala 18 · Dos formas de medir funciones
El salto conceptual del bloque: los puntos del espacio pasan a ser funciones. Sobre una función constante se añade un pico de altura y anchura ajustables, y se leen a la vez las dos distancias: el área entre las curvas (d₁) y la barra del peor punto (d∞). El reto pide fabricar un caso con d∞ grande y d₁ minúsculo, que es exactamente el pico alto y estrecho.
Tareas para el alumno
- Conseguir que d∞ supere 0,4 y d₁ se quede por debajo de 0,05.
- Calcular d∞ para una altura de pico dada.
Sala 19 · xⁿ y sus dos veredictos
Las curvas xⁿ se van aplastando contra el eje y levantándose de golpe junto a x = 1, que nunca se mueve. El límite puntual es discontinuo, así que se ha salido de C[0;1]. Y el veredicto sobre la convergencia depende de la métrica: con d₁ vale 1/(n+1) y tiende a 0, con d∞ vale 1 para todo n y no converge.
Tareas para el alumno
- Calcular el límite de 0,9ⁿ y describir la función límite.
- Calcular d₁ entre xⁿ y la función nula para un n concreto.
- Decidir si la sucesión converge con la métrica del supremo.
Sala 20 · El área que se escapa
Los picos de altura n sobre el intervalo [0;1/n]: cada vez más altos y más estrechos, todos de área 1. Para cada x fijo la sucesión acaba valiendo 0, luego el límite puntual es la función nula y su integral es 0; pero la integral de cada fₙ vale 1. El área no se pierde, se escapa hacia arriba.
Tareas para el alumno
- Calcular la integral de fₙ para un n concreto.
- Determinar el límite puntual de la sucesión.
- Explicar por qué no se puede intercambiar el límite con la integral.
Sala 21 · El tubo: convergencia uniforme
Cierre del lab. La convergencia uniforme dibujada como un tubo de anchura 2ε alrededor del límite: la sucesión converge uniformemente si acaba entrando entera dentro, y se colorea en rojo lo que se sale. Se comparan cuatro sucesiones, dos que entran y dos que no. Termina con el truco de los tres tercios animado por sumandos y con el resumen del tema: tres definiciones equivalentes de continuidad, y solo una sobrevive sin distancia.
Tareas para el alumno
- Probar las cuatro sucesiones con el tubo y marcar las que convergen uniformemente.
- Seguir la animación de los tres tercios.
- Decidir qué conserva la convergencia uniforme.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.