Objetivos didácticos
Un planificador reparte el tráfico para que todos lleguen cuanto antes; los conductores, cada uno por su cuenta, acaban en otro reparto, y peor. ¿Cuánto peor? Este lab de bachillerato compara el óptimo del planificador con el equilibrio de los conductores y mide la diferencia con el precio de la anarquía, el cociente entre el tiempo medio de uno y de otro. Parte de la red de Pigou, pasa a la paradoja de Braess —una carretera nueva que empeora el tiempo de todos— y termina con partidas por rondas, en solitario o con toda la clase: el bar El Farol, los pastos comunes, el efecto cobra y la hora punta.
Qué se aprende
La idea central: cuando cada uno elige lo mejor para sí, el resultado de conjunto puede ser peor que el de un reparto coordinado, y se puede medir cuánto peor.
- Pigou: planificador y conductores (salas 1-4). El alumno reparte 100 coches entre una autopista de 60 min y una carretera que se atasca (60 por la autopista y 40 por la carretera: 48 min de media) y ve que el mínimo es el vértice de una parábola. Sin planificador, cada conductor se cambia mientras le compense y el tráfico llega a un equilibrio en el que la carretera no ahorra un minuto a nadie (60 min de media). El cociente de las dos medias es el precio de la anarquía (60/48 = 1,25 con 0,75 min por coche) y, para tiempos lineales, nunca pasa de 4/3; con tiempos más bruscos (la función BPR, de exponente 4) la cota deja de valer.
- Braess (salas 5-11). Con 4000 coches y dos rutas iguales, el equilibrio es 2000 y 2000, a 65 min. Al abrir un atajo de 2 min todos lo usan y todos tardan 82 min, más que antes, y nadie gana saliéndose. Se estudia cómo cambia el equilibrio con el tiempo del atajo, el precio de la anarquía con atajo (82 / 64,89 ≈ 1,264), el peaje de 21,5 min que lleva a los conductores al reparto del planificador, y por qué cerrar una carretera a veces mejora el tráfico. La misma paradoja aparece en un sistema de muelles y cuerdas (al cortar una cuerda, el peso sube) y en la demanda inducida: ampliar una carretera solo cambia cuánta gente la usa.
- Juegos por rondas y cobra (salas 12-15). Cuatro situaciones donde lo racional para cada uno sale mal para todos. El Farol (8 rondas): el bar es agradable si va como mucho el 60 % del grupo, y nadie puede predecir bien si todos usan la misma predicción. Los pastos comunes (20 días): llevar 5 ovejas gana a 3 días, pero el prado solo aguanta 2 por pastor y a 20 días pierde. El efecto cobra: con una recompensa por cobra, criarlas sale a cuenta (con 400 cobras de partida, a partir de 8 €), y al retirarla las sueltan. Hora punta en clase: la red de Braess jugada por rondas, con un atajo que se abre a mitad de partida y hace subir la media del grupo de unos 65 a unos 80 min.
Las salas 12, 13 y 15 se juegan en solitario contra bots o con toda la clase. En clase, el profesor cierra las rondas desde su panel (y en la hora punta abre también el atajo); los bots completan el grupo.
Ideas matemáticas clave
- Equilibrio frente a óptimo: un reparto es un equilibrio si nadie mejora cambiando él solo, y todas las rutas usadas tardan lo mismo; el óptimo minimiza el tiempo medio. En general no coinciden.
- Precio de la anarquía: tiempo medio en el equilibrio dividido por tiempo medio óptimo. Es un cociente de tiempos, sin unidades, y nunca baja de 1.
- La cota 4/3 (Roughgarden y Tardos, 2002): si el tiempo de cada tramo es de la forma a + bx, el precio de la anarquía no supera 4/3 en ninguna red, y la red de Pigou con d = 1 lo alcanza. Con otras funciones, como la BPR, no hay esa garantía.
- Paradoja de Braess: añadir una carretera puede empeorar el tiempo de todos en el equilibrio, porque cada conductor que la usa se ahorra tiempo pero retrasa a quienes comparten los tramos que carga.
- Peaje de Pigou: cobrar a cada conductor el retraso que causa a los demás hace que el equilibrio coincida con el reparto del planificador; el dinero se recauda, no es tiempo perdido.
- Tragedia de los comunes: una oveja de más da toda su lana a su dueño y reparte el daño entre todos; a cada uno le compensa añadirla aunque el prado se agote. Elinor Ostrom estudió comunidades que lo evitan acordando reglas.
- El Farol (Brian Arthur, 1994): una predicción que todos creen deja de cumplirse, así que no puede haber un predictor común que acierte siempre; la asistencia oscila alrededor del 60 %.
Contenidos por salas
Sala 1 · Eres el planificador
Cien coches van de S a T por una autopista de 60 min fijos o por una carretera que tarda 0,75 min por cada coche que la usa. El alumno reparte los coches para que el tiempo MEDIO sea el menor posible (60 por la autopista y 40 por la carretera: 48 min, 12 menos que con todos por la autopista). Después la carretera pasa a un solo carril (1,5 min por coche) y busca el reparto sin ver la media. La teoría explica que el mínimo es el vértice de una parábola.
Tareas para el alumno
- Repartir los 100 coches para minimizar el tiempo medio.
- Repetirlo con la carretera de un carril, sin ver la media.
Sala 2 · Cada conductor a lo suyo
Sin planificador: cada conductor elige la ruta que más le conviene. El alumno predice adónde irá el tráfico y una animación muestra a los conductores cambiándose uno a uno (de 60/40 a 20/80). Se define el equilibrio (nadie gana cambiando de ruta él solo) y se busca con la carretera de un carril: con coches enteros hay dos repartos vecinos, 39 o 40 por la carretera. Moraleja: en el equilibrio la carretera no le ahorra un minuto a nadie.
Tareas para el alumno
- Predecir y ver hacia dónde se mueve el tráfico cuando cada uno mira por sí mismo.
- Encontrar el equilibrio con la carretera de un carril.
Sala 3 · El precio de la anarquía
Definición: media en el equilibrio dividida por media óptima, con un conmutador Planificador / Conductores que anima el cambio de reparto. Con la carretera de 0,75 min por coche las medias son 48 y 60 min (cociente 1,25); con 1,2 min por coche, 52,5 y 60 (8/7). El cociente queda oculto mientras el alumno lo calcula. Cierra con una pregunta: ¿puede ser menor que 1?
Tareas para el alumno
- Calcular el precio de la anarquía con k = 0,75 y con k = 1,2.
- Explicar qué significa 1,25 y por qué nunca baja de 1.
Sala 4 · ¿Cuánto puede costar?
Pigou con una carretera de tiempo T·(x/100)^d. Con un deslizador de T y un selector de d, el alumno ve dibujarse la gráfica del precio con lo que va explorando. Con d = 1 el máximo es 4/3, para T = 60. La teoría enuncia el teorema de Roughgarden y Tardos (tiempos lineales: nunca más de 4/3) y la función BPR, de exponente 4. Se apuesta si con d = 4 se supera 4/3 y se calcula a mano el caso d = 3, T = 60 (≈ 1,90).
Tareas para el alumno
- Hallar el valor de T que hace máximo el precio con d = 1.
- Apostar y comprobar qué pasa con d = 4, y calcular a mano d = 3.
Sala 5 · Dos rutas de A a B
La red de Braess sin atajo: 4000 coches, dos rutas iguales (A-Y-B y A-X-B), con tramos amarillos de x/100 min y autopistas rojas de 45 min. El alumno busca el equilibrio (2000 y 2000, 65 min), comprueba que el planificador no puede mejorarlo (coinciden) y calcula el tiempo de una ruta con otro reparto.
Tareas para el alumno
- Encontrar el equilibrio de la red sin atajo.
- Calcular el tiempo de una ruta con un reparto distinto.
Sala 6 · Construimos un atajo
Se abre una carretera de un solo sentido de Y a X, de 2 min. Antes de verlo, el alumno apuesta; luego una animación pasa los coches al atajo de 100 en 100 hasta que los 4000 van por A-Y-X-B y todos tardan 82 min, frente a los 65 de antes. Es la paradoja de Braess. Retos: el tiempo de A-X-B para quien se saliera (85 min), por qué nadie vuelve y qué pasa al cerrar el atajo (65).
Tareas para el alumno
- Apostar y ver qué pasa al abrir el atajo.
- Explicar por qué nadie se sale del atajo aunque todos tarden más.
Sala 7 · ¿Cuánto tarda el atajo?
Un deslizador cambia el tiempo c del atajo (de 0 a 40 min) y la red muestra el equilibrio. Con c = 10 no todos van por el atajo: se igualan las tres rutas con un reparto 500 / 3000 / 500 y las tres tardan 80 min. Una gráfica propia se dibuja con los puntos que el alumno explora.
Tareas para el alumno
- Recorrer c con el deslizador y anotar cuándo empeora el equilibrio.
- Calcular el reparto de equilibrio para un c dado.
Sala 8 · El atajo en manos del planificador
Con tres rutas y grupos de 50 coches, el alumno busca el reparto de tiempo medio mínimo: con un atajo de 0 min es 1750 / 500 / 1750 (64,69 min), y con c = 5 el planificador ya no usa el atajo. Calcula el precio de la anarquía con c = 2 (82 / 64,89 ≈ 1,264). Último reto: el peaje de Pigou en el atajo. Con un deslizador, el alumno busca el peaje de 21,5 min con el que los conductores, mirando solo su tiempo más el peaje, acaban en el reparto del planificador. La teoría añade ejemplos reales de peajes urbanos (Singapur, Londres, Estocolmo).
Tareas para el alumno
- Hallar el reparto de media mínima con atajo y ver cuándo deja de usarse.
- Calcular el precio de la anarquía con c = 2.
- Encontrar el peaje que lleva el equilibrio al reparto del planificador.
Sala 9 · Cerrar una carretera
Si añadir una carretera puede empeorar el tráfico, cerrar una puede mejorarlo. El alumno toca los tramos de dos redes de 600 coches para cerrarlos o abrirlos, y los coches se recolocan hasta el nuevo equilibrio. En la primera (el rombo de Braess disfrazado) solo cerrar A→B baja el tiempo, de 46 a 39 min; en la segunda solo B→C, de 90 a 80.
Tareas para el alumno
- Encontrar en cada red el único tramo cuyo cierre mejora el equilibrio.
- Comprobar que cerrar otros tramos deja el tiempo igual o lo empeora.
Sala 10 · Muelles y cuerdas
La paradoja de Braess en mecánica (Cohen y Horowitz, 1991): dos muelles en serie con una cuerda corta y dos cuerdas de seguridad flojas. Al cortar la cuerda del medio, el peso SUBE. La teoría recuerda la ley de Hooke y por qué dos caminos en paralelo cargan la mitad cada uno.
Tareas para el alumno
- Predecir qué le pasa al peso al cortar la cuerda del medio.
- Explicar el resultado con muelles en serie y en paralelo.
Sala 11 · Más carriles, el mismo atasco
Cada persona elige entre coche y tren. El tren tarda un tiempo fijo; la carretera, un tiempo que crece con los coches y baja con los carriles. En el equilibrio, mientras alguien vaya en tren, la carretera tarda lo mismo que el tren: ampliarla solo cambia cuánta gente la usa.
Tareas para el alumno
- Ampliar la carretera y observar cómo se reequilibra.
- Explicar por qué el tiempo de equilibrio no baja.
Sala 12 · El bar El Farol
Juego de 8 rondas (Brian Arthur, 1994). En cada ronda, ir al bar o quedarse en casa: si va como mucho el 60 % del grupo, los que van ganan +1; si va más, pierden 1; quedarse da 0. Los bots usan predictores sencillos y la asistencia oscila alrededor del 60 %. Se juega en solitario contra bots o con toda la clase; en clase, el profesor cierra las rondas desde su panel. Retos: cuántas personas más cabían en una ronda tuya, qué pasa si todos usan el mismo predictor, cuántos puntos más habría sumado el grupo y por qué la asistencia acaba cerca del 60 %.
Tareas para el alumno
- Jugar las 8 rondas decidiendo en cada una si ir o quedarse.
- Explicar por qué una predicción que todos creen deja de cumplirse.
Sala 13 · Los pastos comunes
Tragedia de los comunes en 20 días. Cada pastor elige cuántas ovejas (0 a 5) lleva los días 1, 2 y 3, y una cuarta decisión fija vale para los días 4 a 20. Cada oveja de media por pastor se come el 5 % del prado, y lo que queda rebrota 0,4·r·(1−r). Se anima cada día (las ovejas comen, sale la lana, la hierba rebrota). Llevar 5 es lo que más compensa al principio (a 3 días, 15 de lana frente a 6), pero el prado aguanta como máximo 2 ovejas por pastor: a 20 días el planificador gana 40 frente a 27,7. Se juega en solitario contra bots o con toda la clase, con el profesor cerrando las rondas.
Tareas para el alumno
- Decidir cuántas ovejas llevar y ver cómo cambia el prado.
- Calcular cuántas ovejas aguanta el prado cada día con los pastores de tu partida.
- Explicar por qué lo egoísta gana a 3 días y pierde a 20.
Sala 14 · El efecto cobra
Un ayuntamiento paga por cada cobra entregada, y criar cobras sale a cuenta. Un deslizador cambia el precio por cabeza y dos gráficas muestran el año (cobras salvajes, criadas y total) y los intentos del alumno. Se parte de 400 cobras: el menor precio entero con el que, al cabo de un año, hay más de 400 es 8 €. Después se retira la recompensa y los criadores sueltan las cobras. Cierra con «Hoy no circula» (Ciudad de México, 1989) y la nota de que la anécdota de Delhi no tiene fuente firme.
Tareas para el alumno
- Hallar el menor precio entero con el que hay más cobras que al principio.
- Explicar qué pasa al retirar la recompensa.
Sala 15 · Hora punta en clase
La red de Braess de las salas 5-8, normalizada, en 7 rondas. Cada jugador lleva 5 coches y en cada ronda reparte cuántos van por A-Y-B, A-X-B y, con el atajo abierto, A-Y-X-B. Tramos amarillos: 40 · (coches del tramo / coches totales) min; rojos, 45 min; atajo, 2 min. La puntuación es el tiempo medio de tus 5 coches. Las 3 primeras rondas son sin atajo; desde la 4.ª se abre (en solitario, solo; en clase lo abre el profesor desde su panel, que también cierra las rondas). La media del grupo pasa de unos 65 min a unos 80 al abrirse el atajo. Retos con los datos de la propia partida.
Tareas para el alumno
- Jugar las rondas sin y con atajo y comparar la media.
- Calcular cuánto más tardaría un coche tuyo si cambiara de ruta.
- Explicar por qué empeora la media al abrirse el atajo (17 min más por coche en el equilibrio: 82 frente a 65).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.