Objetivos didácticos
En este lab el alumno nunca elige entre opciones para continuar una serie: la fabrica con las manos. Enciende lámparas, pinta celdas, coloca cerillas o quita cubitos para construir el paso siguiente de una secuencia visual, y el propio laboratorio comprueba si lo construido es correcto. Cuando acierta, se tapan los pasos anteriores y se le pide un paso más partiendo solo del que acaba de hacer: acertar una vez puede ser suerte, acertar dos seguidas ya no.
Qué se aprende
El lab entrena a reconocer la regla que gobierna una secuencia y a aplicarla hacia delante, no a reconocerla entre varias opciones. Trabaja también el conteo de una misma figura por dos caminos distintos, que es la primera experiencia de igualdad algebraica de muchos alumnos: dos expresiones que se ven distintas pero cuentan lo mismo.
- Detectar la regla de formación de una secuencia observando sus primeros pasos, y aplicarla para construir el siguiente (salas 1-8).
- Reconocer y aplicar giros, reflexiones e inversiones de figuras en una rejilla (salas 3-5 y 8).
- Contar una misma estructura de dos maneras distintas y comprobar que ambas dan el mismo número (salas 9-14).
- Reconocer los números triangulares y los números cuadrados como sumas de filas o de capas sucesivas (salas 15-16).
- Observar crecimiento multiplicativo y autosemejanza en figuras que se repiten a distintas escalas (salas 17-19).
- Inventar una regla propia encadenando transformaciones y descubrir la regla secreta del lab observando cómo transforma una figura paso a paso (sala 20).
Ideas matemáticas clave
- La regularidad: una secuencia interesante no es una lista de dibujos sueltos, sino el resultado de aplicar la misma regla una y otra vez. Verla construida a mano, paso a paso, es más convincente que enunciarla.
- Las transformaciones del plano — girar, reflejar, invertir — como operaciones que se pueden encadenar y cuyo efecto se puede predecir antes de aplicarlas.
- Contar de dos maneras una misma figura (por ejemplo, el borde de un cuadrado como 4N−4 o como N²−(N−2)²) es la puerta de entrada a la idea de que dos fórmulas distintas pueden ser la misma cantidad: el germen de la igualdad algebraica.
- Los números triangulares (1, 3, 6, 10, 15…) y cuadrados (1, 4, 9, 16, 25…) como sumas acumuladas de filas o de capas en forma de L.
- El crecimiento multiplicativo y la autosemejanza: figuras como el triángulo de Sierpinski o un árbol que se ramifica, donde cada parte reproduce la estructura del todo a otra escala.
Nivel: Primaria (8-12 años). En clase funciona bien proyectado en gran grupo para las salas de construcción con doble iteración: el efecto de "tapar lo anterior y pedir un paso más" se explica solo y da pie a preguntar en voz alta "¿qué regla estás usando?" antes de que el alumno la escriba con sus propias palabras en el campo libre de cada sala.
Contenidos por salas
Sala 1 · La ventana que se desliza
Una rejilla 3×3 numerada del 1 al 9. Una ventana de tres círculos consecutivos se enciende y avanza una casilla en cada paso: el alumno ve los cinco primeros pasos y enciende él mismo los círculos del sexto y, con los anteriores tapados, los del séptimo.
Tareas para el alumno
- Encender los tres círculos consecutivos que corresponden al paso 6.
- Con los pasos anteriores ocultos, encender los del paso 7.
Sala 2 · La L
Una L dibujada en una rejilla 4×4 que gira 90° en el sentido horario en cada paso. El alumno arrastra por las casillas para pintar el paso 4 y comprueba que el paso 5 coincide de nuevo con el primero: la figura completa un ciclo de cuatro giros.
Tareas para el alumno
- Pintar la posición de la L en el paso 4 girándola 90° respecto al paso 3.
- Pintar el paso 5 y comprobar que vuelve a ser igual al paso 1.
Sala 3 · ¿Cómo sigue el árbol?
Tres pasos de un árbol fractal dibujados —1, 2 y 4 ramitas nuevas— y cuatro continuaciones entre las que elegir. Las tres equivocadas se parecen mucho a la buena: en una cada punta se abre en tres, en otra dos puntas siguen rectas y salen 6 ramitas en vez de 8, y en la tercera las ramas nuevas no menguan; al fallar se dice exactamente qué falla en la que ha elegido. Después llega la tabla de las potencias de 2 hasta el paso 6 y, de premio, el árbol dibujado con nueve pasos. Sustituye a la sala del espejo, que no se entendía.
Tareas para el alumno
- Elegir cuál de los cuatro dibujos continúa el árbol.
- Completar la tabla de ramitas nuevas: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- Ver de dónde sale un árbol entero: de una regla de nada.
Sala 4 · Estrellas
Una rejilla 7×7 en la que cada casilla pintada contagia a sus cuatro vecinas, como la escarcha creciendo en un cristal. Los tamaños de la mancha siguen la serie 1, 5, 13, 25, y el alumno pinta el paso siguiente y, tapando el anterior, uno más.
Tareas para el alumno
- Pintar el paso siguiente contagiando cada casilla pintada a sus cuatro vecinas.
- Con el paso anterior oculto, pintar un paso más.
Sala 5 · El cuadro de las caras
Un cuadro 3×3 combina tres tipos de nariz y tres de boca sin repetir combinación en fila ni columna, como un cuadrado grecolatino. Falta una cara y el alumno la compone rasgo a rasgo, sin elegirla de una lista; una variante deja dos casillas vacías.
Tareas para el alumno
- Deducir qué nariz y qué boca faltan en la casilla vacía y componerla.
- Resolver la variante con dos casillas vacías.
Sala 6 · Dos reglas a la vez
Una flecha gira 45° en cada paso mientras su color alterna entre dos, siguiendo dos reglas independientes a la vez. El alumno deja el paso siguiente con la dirección y el color que le corresponden, y luego uno más partiendo solo de ese.
Tareas para el alumno
- Girar la flecha 45° y alternar su color para construir el paso siguiente.
- Con el paso anterior oculto, construir un paso más.
Sala 7 · Dos metamorfosis
La misma L que gira 90° por paso, pero además se intercambian las casillas pintadas y vacías del recuadro. El ciclo completo dura cuatro pasos: el alumno lo descubre construyendo, sin que se le anuncie de antemano.
Tareas para el alumno
- Pintar el paso siguiente girando la figura e invirtiendo pintado y vacío.
- Seguir construyendo pasos hasta comprobar que el ciclo se repite cada cuatro.
Sala 8 · El reloj
Una esfera de doce lámparas en la que las encendidas avanzan una hora en cada paso y se suma una lámpara nueva, alternando entre las posiciones 12 y 6. Se muestran cuatro pasos y el alumno enciende las lámparas del quinto y, tapando los anteriores, las del sexto; una variante marcha atrás pide deducir un paso anterior a partir de uno posterior.
Tareas para el alumno
- Encender las lámparas del paso 5 avanzando una hora las del paso 4 y añadiendo la lámpara nueva.
- Con los pasos anteriores tapados, encender las lámparas del paso 6.
- Resolver la variante marcha atrás deduciendo un paso anterior.
Sala 9 · Cerillas: cuadrados en fila
Cuadrados en fila hechos con cerillas: cada cuadrado nuevo comparte un lado con el anterior. El alumno predice cuántas cerillas hará falta para el cuarto cuadrado (13), las coloca y las cuenta de dos maneras: por cerillas verticales (n+1) y horizontales (2n).
Tareas para el alumno
- Predecir el número de cerillas del paso 4 antes de construirlo.
- Colocar las cerillas y contarlas por verticales y por horizontales, comprobando que ambos conteos coinciden.
Sala 10 · Cerillas: triángulos
Triángulos que se dan la vuelta uno sí y otro no, compartiendo lado con el anterior: la serie de cerillas es 3, 5, 7, 9. Una variante subdivide cada triángulo en triángulos más pequeños, con la serie 3, 9, 18.
Tareas para el alumno
- Predecir y construir el número de cerillas del cuarto triángulo (9).
- Resolver la variante de triángulos subdivididos contando de dos maneras.
Sala 11 · El triángulo grande
El triángulo grande de lado N partido en triangulitos iguales: 1, 4 y 9 triangulitos con 3, 9 y 18 cerillas. Se dan montados los de lado 1 y 2, y el de lado 3 se muestra en gris, a tamaño real y solo con las líneas, para que se vea qué significa «de lado 3» antes de contarlo. El alumno predice, coloca las cerillas y cuenta de dos maneras.
Tareas para el alumno
- Predecir cuántas cerillas hacen falta para el triángulo de lado 3.
- Colocar las 18 cerillas y contarlas por inclinaciones y por filas.
- Completar la tabla hasta el triángulo de lado 4, que no está dibujado.
Sala 12 · El marco
Solo se pinta el borde de una rejilla N×N. El alumno predice cuántas casillas serán, las pinta y las cuenta por dos caminos: contando el perímetro directamente (4N−4) y restando el hueco interior al total (N²−(N−2)²).
Tareas para el alumno
- Predecir el número de casillas del borde antes de pintar.
- Pintar el marco y comprobar el conteo por las dos fórmulas.
Sala 13 · El esqueleto del cubo
Un cubo N×N×N del que solo quedan los cubitos de las aristas y los vértices. Se dan montados el paso 1 (2×2×2, 8 piezas) y el paso 2 (3×3×3, 20), con la cantidad en grande. El alumno predice cuántas quedan en el 4×4×4 y, si falla, las talla él quitando los centros de cara y el interior; el deslizador de capas es imprescindible para llegar a lo de dentro. Dos conteos con los números del cubo que se ve: 8 vértices + 12 aristas de 2 piezas, o 64 menos el bloque interior menos las seis placas.
Tareas para el alumno
- Predecir cuántas piezas quedan en el esqueleto del cubo 4×4×4.
- Quitar los cubitos que sobran y ver las piezas escondidas con el deslizador.
- Completar la tabla de pasos hasta el cubo 6×6×6 y notar que cada paso añade 12.
Sala 14 · Triángulos de puntos
Números triangulares 1, 3, 6, 10. Se ve la retícula triangular entera, mucho más grande que lo que hay que encender, con las dos primeras capas iluminadas: el alumno decide dónde va la fila nueva, no se le señala. Construye dos pasos seguidos, el segundo con los anteriores tapados.
Tareas para el alumno
- Colocar la fila que continúa el triángulo.
- Repetirlo con los pasos anteriores ocultos.
- Completar la tabla hasta el paso 7, que no está dibujado.
Sala 15 · Cuadrados y capas
Números cuadrados 1, 4, 9, 16 vistos como capas en forma de escuadra. La retícula cuadrada se ve entera con las dos primeras capas encendidas; cada capa terminada se pinta de su color y un panel va mostrando 1+3+5+7. El alumno coloca dos escuadras seguidas.
Tareas para el alumno
- Colocar la escuadra que continúa el cuadrado.
- Repetirlo con los pasos anteriores ocultos.
- Completar la tabla hasta el paso 7, que no está dibujado.
Sala 16 · La colmena
Hexágonos centrados 1, 7, 19, 37. Se ve el panal entero con un anillo de más y las dos primeras capas encendidas; el alumno coloca el anillo completo que toca. Al terminar, dos conteos sobre la misma figura: por anillos y por las seis porciones más el centro.
Tareas para el alumno
- Colocar el anillo que continúa la colmena.
- Repetirlo con los pasos anteriores ocultos.
- Contar la figura por anillos y por porciones, y completar la tabla hasta el paso 7.
Sala 17 · Contar triángulos
El triángulo de Sierpinski: 1, 3, 9, 27 triángulos llenos. El alumno predice cuántos habrá en la iteración 4 y, si falla, los construye subdividiendo uno a uno desde la iteración 3; si acierta, se le enseña hecha. Después completa la tabla de llenos y, con la iteración 4 a la vista, cuenta los triangulitos negros (los huecos) y descubre que también hacen serie: 0, 1, 4, 13.
Tareas para el alumno
- Predecir cuántos triángulos llenos tendrá la iteración 4.
- Subdividir triángulo a triángulo hasta completarla.
- Contar los huecos de la iteración 4 y completar la tabla de huecos.
Sala 18 · El árbol que se abre
De cada punta salen dos ramas que nacen en el mismo punto: una sigue recta con 0,6 de la longitud anterior y otra se abre 20° con 0,5. El alumno hace crecer el árbol tocando las puntas, y no puede adelantarse: las del nivel siguiente no responden hasta que ha abierto todas las del nivel en curso. Al terminar los tres niveles, la tabla de ramas acumuladas (1, 3, 7, 15, 31, 63) y el árbol dibujado con siete niveles, que ya parece un helecho.
Tareas para el alumno
- Elegir en cuántas ramitas se abre cada punta.
- Abrir todas las puntas de la iteración.
- Completar la tabla de ramitas nuevas y predecir una iteración sin construirla.
Sala 19 · Cubitos pintados
Empieza preguntando en cuántos cubitos de 1×1×1 se parte un cubo 3×3×3. Al responder, el cubo se abre en capas: quien acierta pasa adelante y quien falla cuenta los cubitos de una capa y suma 9+9+9. Solo entonces llega la pregunta de la pintura: cuántos cubitos tendrán 3 caras pintadas. Después se reparten los 27 por número de caras pintadas, pero **un montón cada vez**: se marcan los de 3 caras y se comprueban, y solo entonces aparece el siguiente montón. El cubo se ve pintado de verdad —las caras que estaban fuera van de color pintura— y las tres capas salen separadas, así que se puede pulsar cualquier cubito. Cierra con la balanza 8 + 12 + 6 + 1 = 27.
Tareas para el alumno
- Decir en cuántos cubitos pequeños se parte el cubo y comprobarlo por capas.
- Predecir cuántos tendrán las 3 caras pintadas.
- Clasificar los 27 cubitos y completar la tabla del cubo 4×4×4.
Sala 20 · Palillos y plastilina
El armazón de alambre de una rejilla cúbica: bolas de plastilina en los nudos y palillos en las aristas. Se da montado el paso 1 (8 bolas y 12 palillos) y se dibuja en gris, a tamaño real, el paso 2, para que se vea qué se está pidiendo. Se cuentan las bolas de los nudos (27) marcándolas una a una, y se cuentan de dos maneras: por capas y por columnas. Va al final del lab porque el armazón en 3D es lo más difícil de leer.
Tareas para el alumno
- Predecir cuántas bolas de plastilina tiene el armazón del paso 2.
- Marcar los nudos y contarlos por capas y por columnas.
- Completar la tabla de bolas hasta el paso 3, que no está dibujado.
Sala 21 · Tu propia regla
Dos modos. En el constructor, el alumno dibuja una figura en una cuadrícula 3×3 y encadena transformaciones —girar, reflejar, invertir, desplazar—; la serie se genera en una cuadrícula 7×7 con la figura encajada arriba a la izquierda, para que desplazar se vea como un movimiento y no como un salto. En el modo adivina, el laboratorio esconde una cadena de dos transformaciones, muestra cuatro pasos y el alumno construye el quinto y el sexto; al acertar los dos, se le revela la cadena escrita en palabras.
Tareas para el alumno
- Dibujar una figura y encadenar transformaciones para generar la propia serie.
- Adivinar la cadena escondida construyendo el paso siguiente.
- Repetirlo con los pasos anteriores ocultos y comparar con lo que había pensado.
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.