Presentaciones para clase
Para proyectar en clase y trabajar en grupo. Se descargan en PowerPoint (.pptx).
Acertijos del reloj · Parte 1
Presentación para proyectar (39 diapositivas): reconocer y dibujar ángulos con las agujas, cinco acertijos con minutos, las campanadas, la esfera partida en tres y el reloj sin números. Cada acertijo lleva su solución en la diapositiva siguiente y la respuesta en las notas.
Acertijos del reloj · Parte 2
Presentación de acertijos difíciles (17 diapositivas): cuándo se juntan las agujas, cuándo vuelve el mismo ángulo, las horas en línea recta, los 44 ángulos rectos al día, 84° entre las 7 y las 8, el reloj que adelanta y el segundero.
Objetivos didácticos
Lab de secundaria (1.º-2.º de ESO). El reloj de agujas es un transportador que todos llevan en la cabeza: una vuelta, media vuelta y un cuarto de vuelta se ven en el minutero, y las horas en punto dan los múltiplos de 30°. Todo el lab gira alrededor de un reloj grande que se puede manipular: las agujas se arrastran (engranadas, como en un reloj de verdad, o sueltas, como en un reloj de juguete), el ángulo entre ellas se pinta en ámbar y las animaciones pasan el tiempo deprisa para ver moverse el horero.
Las salas 1-14 son para cualquier alumno; las 15-19 son problemas de concurso (AMC, AHSME, Lewis Carroll).
Qué se aprende
- Vuelta entera (360°), media vuelta (180°) y cuarto de vuelta (90°) como giros del minutero; ángulo recto y llano.
- Entre las agujas hay dos ángulos que suman 360°; «el ángulo entre las agujas» es el menor.
- Entre dos números del reloj hay 30° y entre dos rayitas, 6°. Pasar de 24 h a 12 h.
- La idea clave: el horero también se mueve, 0,5° por minuto. Por eso a las 15:30 el ángulo es 75°, no 90°.
- Calcular el ángulo a cualquier hora: posición del minutero (6° por minuto) menos posición del horero (30° por hora y 0,5° por minuto), y 360° menos la diferencia si pasa de 180°.
- Marcar un ángulo con las agujas: con el horero fijo (reloj de juguete) y con el minutero fijo (reloj de verdad, donde el horero solo puede estar en ciertas posiciones).
- Cómo cambia el ángulo con el tiempo: el minutero le gana al horero 5,5° por minuto.
- Problemas de concurso: con solo el ángulo no se sabe la hora; cuándo vuelve el mismo ángulo (720/11 minutos entre superposiciones); cuántas veces al día se juntan las agujas (22) o forman ángulo recto (44); del ángulo a la hora con una ecuación; el reloj en el espejo (siempre marca una hora posible), el reloj girado (nunca) y el reloj sin números; las agujas iguales (132 horas ambiguas en 12 horas).
Ideas matemáticas clave, por bloque
A · Para todos (salas 1-14). Medida de ángulos como fracción de vuelta; la proporcionalidad de los giros (30° por hora, 6° por minuto, 0,5° por minuto); el ángulo entre dos semirrectas como valor absoluto de una diferencia reducido a [0°, 180°]; la velocidad relativa.
B · Problemas de concurso (salas 15-19). Ecuaciones lineales con valor absoluto (|210 − 5,5·m| = 84); movimiento relativo y número de adelantamientos; simetría (el espejo es la hora 12:00 − t) frente a rotación (que rompe la relación 12 : 1 entre las agujas); congruencias módulo 360° (143·H ≡ 0).
Material y fuentes
AMC 8 2003 n.º 20 (4:20 → 10°), AHSME 1954 n.º 50 (84° entre las 7 y las 8), el problema de las agujas
intercambiables de Lewis Carroll y Dudeney. Números comprobados con scripts/verify_angulos_reloj.mjs.
Contenidos por salas
Sala 1 · Recto, llano y la vuelta entera
RECONOCER múltiplos de 90° entre las dos agujas. En el libro, animación: la aguja corta quieta en el 12 y el minutero barre 90°, 180°, 270° y 360°, marcando el 3, el 6, el 9 y el 12.
Tareas para el alumno
- Galería de 8 relojes con las agujas en cualquier posición: tocar los ángulos rectos (4).
- Galería: tocar los llanos (3).
- ¿Cuánto mide el ángulo pintado del 12 al 9? (270°).
- ¿Cuántos rectos caben en una vuelta? (4).
Sala 2 · Con el horero roto
CREAR múltiplos de 90°: el horero está roto y no se mueve; se arrastra el minutero.
Tareas para el alumno
- Horas en el 12, llano (6).
- Horas en el 3, recto: las dos posiciones (12 y 6).
- Horas en el 8, llano (2).
- Horas en el 1, recto: las dos posiciones (4 y 10).
Sala 3 · 30° entre dos números
Múltiplos de 30° que no lo son de 90°. En el libro, animación que marca cada número con sus grados (30°, 60°…; los de 90° en gris) y el ángulo menor entre las agujas.
Tareas para el alumno
- Horas en punto con 60° (2 y 10), 150° (5 y 7) y 120°.
- El ángulo grande a las 10:00 (300°).
Sala 4 · Las horas en punto
De 24 h a 12 h; 30° por hueco; el ángulo grande es una trampa.
Tareas para el alumno
- 16:00 (120°), 20:00 (120°), 23:00 (30°), 19:00 (150°).
Sala 5 · Marca el ángulo: reloj de juguete
Agujas sueltas: el reloj como transportador; casi siempre hay dos posiciones.
Tareas para el alumno
- Horero en 12, 90° (15 o 45 min); en 6, 120°; en 9, 150°; en 12, 42° (7 o 53 min). Cada caso, las dos posiciones.
Sala 6 · Marca el ángulo: reloj de verdad
Minutero clavado: el horero solo puede ir a ciertas posiciones (h:30 o h:20).
Tareas para el alumno
- Y media: 75° (3:30 y 8:30), 45°, 15° (5:30 y 6:30).
- Y veinte: 50° (2:20) y 40° (5:20).
Sala 7 · El reloj en el espejo
En el espejo la hora real y la reflejada suman 12:00; el reflejo siempre es una hora posible y el ángulo no cambia. Solo se ven el 12 y el 6; la pista (💡) enseña los demás números.
Tareas para el alumno
- Hora real de tres relojes reflejados (9:20, 7:10, 12:55), con «Ver sin espejo».
- Hora que se ve igual (12:00 o 6:00).
- ¿Cambia el ángulo? (no).
Sala 8 · Agujas iguales
Con agujas iguales la hora es ambigua si al intercambiarlas sale otra hora posible: 143·H múltiplo de 360°.
Tareas para el alumno
- ¿Se sabe la hora a las 6:00? (sí: 12:30 es imposible).
- La 1:00 y 25 s (no se sabe: también vale 12:05).
Sala 9 · El horero también se mueve
Idea clave: el horero avanza 30° por hora, 0,5° por minuto. Animación de 15:00 a 15:30 con la estela del horero.
Tareas para el alumno
- Apuesta: ¿forman 90° a las 15:30? (menos).
- Cuánto avanza el horero en 30, 20, 12 y 1 minutos (15°, 10°, 6°, 0,5°).
Sala 10 · El relojero torpe
Horas imposibles: el horero tiene que ir a juego con el minutero. Primero se reconocen, luego se arreglan.
Tareas para el alumno
- Galería con en punto, y media, y cuarto y menos cuarto: tocar las imposibles (3).
- Galería con y 10, y 20, y 40 y y 50: tocar las imposibles (4).
- Arreglar el horero con el minutero clavado: 3:30, 7:15, 10:20 y 4:45.
Sala 11 · El reloj girado
Girar suma lo mismo a las dos agujas y rompe la relación 12 : 1: un reloj girado nunca marca una hora posible. Se gira con botones de 30°.
Tareas para el alumno
- Reloj boca abajo (ninguna hora posible; no son las 8:10).
- Enderezarlo con los botones hasta que marque una hora posible (2:40).
- Las 12:00 caídas de lado (ninguna).
- ¿Alguna hora sobrevive a media vuelta? (no).
- Reloj sin números colgado torcido: ¿qué hora marca? (4:00; no las 8:20: el horero está justo en una marca, así que es en punto).
Sala 12 · Y media
El método: posición del minutero menos posición del horero (ejemplo del libro: 15:30 → 75°). Solo horas «y media», que dan grados enteros.
Tareas para el alumno
- 21:30 (105°), 12:30 (165°), 22:30 (135°), 18:30 (15°).
Sala 13 · El ángulo a cualquier hora
Práctica del método con minutos cualesquiera.
Tareas para el alumno
- 14:20 (50°), 18:50 (95°), 19:12 (144°) y 16:20 (10°, AMC 8 de 2003).
Sala 14 · Dentro de un rato
El minutero le gana al horero 5,5° por minuto: 165° cada media hora.
Tareas para el alumno
- Grados que gana en 10 min (55).
- De las 15:00 (90°) a las 15:30 (75°) y a las 15:20 (20°); de las 16:00 a las 16:10 (65°) y 16:30 (45°).
Sala 15 · Solo sabemos el ángulo
Con solo el ángulo no se sabe cómo será dentro de media hora.
Tareas para el alumno
- 90° ahora, ¿y en media hora? (depende).
- Hora en punto con 90° y 105° media hora después (9:00); con 75° (3:00).
- Sin reloj: hora en punto con ángulo recto, ¿qué ángulo dentro de 20 minutos? Dos respuestas: 20° (3:00) y 160° (9:00).
Sala 16 · El ángulo no ha cambiado
El ángulo se repite cuando el minutero gana una vuelta o el doble del ángulo; superposiciones cada 720/11 min.
Tareas para el alumno
- De las 15:00 a volver a 90° (360/11 ≈ 32,7 min).
- Primera superposición tras las 12:00 (720/11 ≈ 65,5 min).
- Superposición entre las 2 y las 3 (2:11).
Sala 17 · ¿Cuántas veces al día?
En 12 h el minutero adelanta al horero 11 veces; time-lapse de 12 h con contador.
Tareas para el alumno
- Apuesta: superposiciones al día (22).
- Ángulos rectos al día (44) y líneas rectas (22).
Sala 18 · Del ángulo a la hora
Ecuación |210 − 5,5·m| = ángulo (ejemplo del libro: 90° entre las 4 y las 5).
Tareas para el alumno
- 84° entre las 7 y las 8: 22,9 y 53,45 min (7:23 y 7:53; AHSME 1954).
- Línea recta entre las 2 y las 3 (43 7/11 min).
Sala 19 · Agujas iguales: ¿cuántas?
Cuántas horas no se pueden leer con agujas iguales, por pasos: minutero = 12 · horero; al intercambiar hace falta 144 · H = H; 143 posiciones; menos las 11 superposiciones.
Tareas para el alumno
- Horero a 5° → minutero a 60°.
- Horero a 20° → minutero a 240°.
- Intercambiar las agujas de las 12:10 (no es una hora posible).
- 12 · (12 · H) = 144 · H.
- Posiciones en una vuelta: 143.
- Horas ambiguas en 12 h: 132 (Lewis Carroll y Dudeney).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.