Presentaciones para clase
Para proyectar en clase y trabajar en grupo.
Combinatoria desde cero · I. Contar sin contar
Presentación (22 diapositivas): la regla del producto con tablas y árboles, contar cifra a cifra, permutaciones y factoriales, y palabras con letras repetidas (MORENO, PALABRA). Retos con soluciones al final.
Combinatoria desde cero · II. Números combinatorios
Presentación (26 diapositivas): las rutas de Ana (un problema de Gardner), la regla de la suma, el triángulo de Pascal, las biyecciones y los números combinatorios, con su fórmula y dos demostraciones de la regla de Pascal.
Combinatoria desde cero · III. Hagan juego
Presentación (27 diapositivas): apuestas clásicas para votar antes de calcular. El caballero de Méré, el problema de Galileo con tres dados, el cumpleaños, la Primitiva frente a 24 caras, Newton y Pepys y el reparto de la apuesta de Pascal y Fermat.
Objetivos didácticos
Lab de secundaria (3.º-4.º de ESO) de combinatoria. Todo gira alrededor de una pregunta: Ana quiere ir al colegio cada día por una ruta distinta, ¿para cuántos días tiene? La ciudad de Ana es una cuadrícula de calles en la que el alumno dibuja rutas tocando los cruces, y las animaciones enseñan cómo se suman las rutas cruce a cruce hasta que la cuadrícula gira y se convierte en el triángulo de Pascal.
Las salas 1-4 repasan las potencias y los factoriales; las 5-9 son el problema de Ana; las 10-13 llevan a elegir sin orden; las 14-16 presentan el triángulo y los números combinatorios con demostraciones combinatorias animadas, y las 17-20 son ampliación: subconjuntos, patrones del triángulo, Sierpinski y el binomio de Newton.
Qué se aprende
- La regla del producto: n^k (monedas, dados, contraseñas) y n! (personas en fila), con la idea de que, fijado el primero, quedan (n − 1)! maneras.
- Elementos que no se distinguen: cada ordenación sale repetida k! veces y hay que dividir entre k! (las frutas del lunes, las letras repetidas de PALABRA). El error típico de dividir entre 3 en lugar de entre 3!.
- La regla de la suma: a un cruce se llega por la izquierda o por abajo, nunca por los dos lados a la vez. Con ella se cuentan las rutas en cualquier ciudad, también con calles cortadas.
- La regla del producto con rutas: pasar por un cruce multiplica; pasar por un sitio u otro (sin poder pasar por los dos) suma. Contar por complemento.
- Biyecciones: cada fila de botes de mermelada es una ruta de Ana y cada ruta una fila; por eso hay tantas.
- Elegir k de n sin importar el orden: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!,(n-k)!}$ (triángulos con vértices en 7 puntos, equipos).
- El triángulo de Pascal: la cuadrícula de Ana girada; fila n, posición k (contando desde 0).
- Demostraciones combinatorias, sin cuentas: la simetría $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ (elegir a los que van es elegir a los que no van) y la regla de Pascal (Eugenio, que llega tarde, parte los equipos en dos montones).
- Un conjunto de n elementos tiene 2^n subconjuntos, de dos maneras: bombillas encendidas o apagadas y la suma de una fila del triángulo.
- Patrones del triángulo: números triangulares, palo de hockey, Fibonacci, potencias de 11 y el triángulo de Sierpinski al pintar los impares.
- El binomio de Newton: el coeficiente de $a^k b^{n-k}$ en $(a+b)^n$ es $\binom{n}{k}$.
Cómo se trabaja
Antes de calcular se apuesta (cuántas rutas hay) y se compara con el resultado. Los primeros cruces se cuentan dibujando todas las rutas; cuando dibujarlas se hace largo, aparece la idea que lo resuelve. Las respuestas se corrigen al momento, con pistas tras los fallos y la solución al cuarto.
Material
Las presentaciones «Combinatoria desde cero» I-III (en los materiales del lab) siguen el mismo hilo: las rutas de Ana, los botes, Eugenio que llega tarde y las apuestas clásicas.
Contenidos por salas
Sala 1 · Monedas y dados
Regla del producto con repetición: nᵏ. Al acertar las monedas, un árbol que se duplica en cada moneda.
Tareas para el alumno
- 4 monedas (16; 8 es el error típico).
- 3 dados (216), 2 monedas y 1 dado (24), PIN de 4 cifras (10 000).
Sala 2 · En fila: el factorial
Problema → idea → más problemas. Con 3 en un banco se buscan todas las maneras; con 4, se elige al primero y quedan 3!.
Tareas para el alumno
- Encontrar las 6 maneras de sentar a 3.
- 4 en el banco (24); 5 libros (120); podio de 8 (336, no 8!); NUMEROS (5040).
Sala 3 · La fruta de Ana
Cosas que no se distinguen: cada reparto sale k! veces y se divide entre k!. Animación: las dos frutas del lunes se intercambian y se funden.
Tareas para el alumno
- Lunes a viernes, una al día (120).
- El lunes dos (60); 6 frutas (360); lunes dos y martes dos (30).
Sala 4 · Letras repetidas
Lo mismo con letras: las A de PALABRA con subíndices, sus 3! ordenaciones se funden en una.
Tareas para el alumno
- MORENO (360) y PALABRA (840; dividir entre 3!, no entre 3).
- Con 4 letras iguales, ¿entre cuánto? (24).
Sala 5 · Cada día, una ruta distinta
Ana camina de casa al colegio dejando rastro; aparecen 8 de sus 20 rutas y se apuesta cuántas hay.
Tareas para el alumno
- Apuesta (no puntúa).
- Dibujar una ruta; cuántas manzanas recorre siempre (6); dibujar una que no esté entre las 8.
Sala 6 · Empezar por lo pequeño
Cruces del borde (una sola ruta) y de la 2.ª calle, dibujando todas las rutas.
Tareas para el alumno
- Calle de abajo y avenida de la izquierda (1).
- Todas las rutas a (1, 1) y a (2, 1) (2 y 3); a (3, 1) sin dibujar (4).
Sala 7 · La regla de la suma
Las 6 rutas al cruce (2, 2) se separan por el último tramo: 3 por la izquierda + 3 por abajo. Animación de la suma cruce a cruce hasta el colegio.
Tareas para el alumno
- Encontrar las 6 rutas a (2, 2).
- (3, 2) = 10, (2, 3) = 10 y el colegio, 20 (se compara con la apuesta).
Sala 8 · Calles cortadas
La regla de la suma en otras ciudades; un tramo con obras aporta 0.
Tareas para el alumno
- 5 × 2 (21) y 4 × 3 (35).
- Con obras en la 2.ª calle (23) y con dos obras (20).
Sala 9 · Pasar por la panadería
Regla del producto con rutas: 3 rutas hasta la panadería × 3 desde ella, en una tabla de 3 × 3.
Tareas para el alumno
- Hasta y desde la panadería (3 y 3); pasando por ella (9; 6 es el error de sumar).
- Las que la evitan (11); panadería o quiosco (18); ¿cuándo se multiplica?
Sala 10 · Dos y dos botes
2 botes de Arándanos y 2 de Dátiles: se intercambian hasta encontrar las 6 filas; con números, 4! = 24 y se divide entre 2 · 2.
Tareas para el alumno
- Encontrar las 6 filas.
- Con número (24); cuántas filas con número dan la misma (4); filas distintas (6).
Sala 11 · Tres y tres: entre 3!
3 y 3 botes: cada fila sale 3! · 3! veces.
Tareas para el alumno
- 720 con número; 6 al borrar los de las A (no 3); 36 al borrar todos.
- Filas distintas (20; 80 es el error de dividir entre 3 · 3).
Sala 12 · Botes y rutas son lo mismo
A = arriba, D = derecha: Ana camina y cae un bote por manzana. Cada ruta es una fila y cada fila una ruta (biyección).
Tareas para el alumno
- De ruta a botes (opción múltiple) y de botes a ruta (dibujarla).
- 4 A y 2 D en una ciudad 2 × 4 (15); por qué hay tantas rutas como filas.
Sala 13 · Triángulos con siete puntos
Elegir k de n sin orden: cada triángulo sale 3! veces con orden.
Tareas para el alumno
- Triángulos (35; 210 con orden) y segmentos (21).
- 4 puntos alineados (31); equipos de 3 de 7 (35) y por qué coincide.
Sala 14 · El triángulo de Pascal
La ciudad de Ana gira y se convierte en el triángulo. C(n, k) = rutas = elegir k de n; se cuenta desde 0.
Tareas para el alumno
- Completar las filas 4, 5 y 6.
- Tocar C(6, 2); C(7, 3) = 35; C(10, 4) = 210 con la fórmula.
Sala 15 · Por qué es simétrico
Demostración combinatoria: elegir a los 2 invitados es elegir a los 3 que se quedan (las 10 parejas emparejadas con sus tríos). La ruta reflejada en la diagonal.
Tareas para el alumno
- Por qué C(5, 2) = C(5, 3).
- C(20, 18) = 190; qué le pasa a una ruta al reflejarla.
Sala 16 · Eugenio llega tarde
Demostración combinatoria de la regla de Pascal: los 35 equipos de 3 de 7 se separan en los que llevan a Eugenio (15) y los que no (20).
Tareas para el alumno
- En qué dos grupos se parten.
- C(7, 3) = C(6, 3) + C(6, 2); la versión con el último tramo de la ruta.
Sala 17 · Los amigos de Marta
Subconjuntos: 2ⁿ con bombillas encendidas o apagadas, y la suma de una fila del triángulo.
Tareas para el alumno
- Los 7 grupos de 3 amigos.
- Con 5 (31; 32 si cuenta el grupo vacío) y con 6 (63).
Sala 18 · Tesoros escondidos
Patrones del triángulo.
Tareas para el alumno
- Triangulares (21), palo de hockey (tocar el 10), Fibonacci (34).
- Potencias de 11 (14 641); la suma de una fila es el doble que la anterior.
Sala 19 · Pares e impares: Sierpinski
El triángulo pintado entero; el alumno despinta los pares y aparece Sierpinski, que crece hasta 64 filas.
Tareas para el alumno
- Despintar los pares de las 8 primeras filas.
- Qué forma aparece; impares en 8 filas (27) y en 16 (81).
Sala 20 · El binomio de Newton
(a + b)² como área; (a + b)³ eligiendo a o b de cada paréntesis, como las rutas de Ana.
Tareas para el alumno
- Coeficientes de (a + b)⁴ (1 4 6 4 1).
- a²b³ en (a + b)⁵ (10); x² en (x + 1)⁶ (15); suma de coeficientes de (a + b)⁷ (128).
Salas para proyectar
Las más vistosas para mostrar y discutir en clase.